Elementarer Satz des Gradienten - Probleme mit Potentialberechnung einer Kugel mit Ladung Q

[Manki (Gast)]

Die Aufgabe lautet diesmal so:

Berechnen Sie das Potential innerhalb und außerhalb einer gleichförmig
geladenen Kugel mit Radius R und Gesamtladung q. Benutzen Sie das Unendliche 
als Bezugspunkt.

Zunächst einmal habe mich mit Hilfe des Divergenzsatzes

$$\oint_{\partial \mathcal{V}} \vec{E}\cdot d\vec{a}=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

die elektrische Feldstärke Innerhalb und Außerhalb der Kugel berechnet 
und erhalte:

$$\vec{E}=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\vec{e}_r \text{ Ausserhalb}\\ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{R^3}r \vec{e}_r \text{ Innerhalb} \end{matrix}\right.$$

Jetzt habe ich aufgrund der Existenz eines Potenzials (was ich mit der 
rotation bewiesen habe) dieses auch berechnen wollen und setze so an:

Für den Außenbereich:

$$-\int_\infty^r \vec{E} \cdot d\vec{l}=-\int_\infty^r \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} q r^{-2} dr=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{r}:=V_{Aussen}(r)$$

Für den Innenbereich:

$$-\int_\infty^r \vec{E} \cdot d\vec{l}=-\int_\infty^r \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R^3} r dr=\infty:=V_{Innen}(r)$$

Und genau da hängt es eigentlich. Denn ich weiß nicht wie ich jetzt 
weitermachen soll. In der Lösung steht ein Ergebnis für Vinnen, aber ich 
komme da auf keines. Ich habe eigentlich genau das selbe gemacht wie bei 
Vaußen und zwar einen Bezugspunkt gewählt und das Potenzial berechnet, 
jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.

Aber was mache ich falsch?

[Achim H. (anymouse)]

Du schmeißt Deine Klein- und Groß-R durcheinander

Deine Potential-Formel für den Innenbereich ist falsch. Überlege nochmal 
genau, WO welche Feldstärke gilt.

[Manki (Gast)]

Die Innenformel muss richtig sein. Ich habe sie gerade kontrolliert. Die 
Integrationsvariable r und dr sollten besser r' und dr' lauten, dann 
gibt es keine Fehler mehr.

[Joachim (Gast)]

Manki schrieb:

> Für den Innenbereich:
>
>

$$-\int_\infty^r \vec{E} \cdot d\vec{l}=-\int_\infty^r \frac{1}{4\pi > \varepsilon_0} \frac{q}{R^3} r dr=\infty:=V_{Innen}(r)$$

Im Innenbereich darfst Du doch nicht bis unendlich integrieren, sondern 
nur bis R, mit einer neuen Integrationskonstanten, dem Potential am 
Rand.

Gruß

[Achim H. (anymouse)]

Manki schrieb:
> Die Innenformel muss richtig sein.

Sie ist es aber nicht, zumindest wenn Deine Kugel einer homogenen 
Ladungsverteilung einen bestimmten Radius R hat.

Du integrierst mit der Feldstärkenformel des Innenbereichs auch im 
Außenbereich!

[Achim H. (anymouse)]

Joachim schrieb:
> Im Innenbereich darfst Du doch nicht bis unendlich integrieren,

Doch, müsste er. Allerdings sieht sein E(r') eben für r' < R anders aus 
als für r' > R . Und wenn man das Intervall des Integrals auf die beiden 
Bereiche aufteilt, ergibt sich der Teil für den äußeren Bereich eben 
durch das

Joachim schrieb:
> Potential am Rand.

[Achim H. (anymouse)]

Achim Hensel schrieb:
> Sie ist es aber nicht, zumindest wenn Deine Kugel einer homogenen
> Ladungsverteilung einen bestimmten Radius R hat.

Um es deutlicher zu machen: Deine Formel für die Feldstärke im Innern 
scheint korrekt. Die Formel für das Potential ist falsch. 
Integrationsgrenzen gehören auch zur Formel, ebenso die Beachtung der 
Abschnittsgrenzen bei Abschnittsweise definierten Funktionen.

[Manki (Gast)]

Ja stimmt, habe das äußere Feld außeracht gelassen.
Jetzt passt das Ergebnis auch.