Koeffizienten von Uebertragungsfunktionen

[nicht Karl (Gast)]

Hi

mich wuerde folgendes interessieren. Es gibt ja verschiedene Arten von 
analogen Tiefpaessen, z.B. die Butterworth oder Tschebytscheff oder 
Cauer Tiefpaesse. Fuer jede Art von Tiefpass kann eine 
Uebertragungsfunktion angegeben werden. Meine Frage zielt jetzt darauf 
ab, wie die Herren Butterworth & Co. die Koeffizienten fuer diese 
Uebertragungsfunktionen ermittelt haben. Irgend einer muss ja mal gesagt 
haben: so, ich will jetzt ein Filter das maximal flach ist, und dann 
sind da irgendwie diese Butterworth-Polynome entstanden. Was wurde da 
rum gerechnet?

Ich habe schon tagelang ueber das Thema gegoogled, aber man findet nicht 
so viel brauchbares. Wie die Koeffizienten fuer Butterworth, 
Tschebytscheff oder Cauer sein muessen, das weiss ich alles, aber ich 
will wissen, wie man drauf kommt. Evtl. wisst ihr auch einen Link zu 
einem Mathematikforum, wo ich das fragen kann?

Ich kann mir zwar nicht vorstellen, dass die Rechnerei so furchtbar 
komplex ist, denn Tschebytscheff hat seine Polynome schon 1880 oder so 
erfunden, er hatte also noch keinen Taschenrechner mit 6 
Nachkommastellen, wo er das alles berechnen konnte. Irgendwie muss es 
also moeglich sein, nur wie?

Besten Dank fuer Rueckmeldungen.
Gruss

[HST (Gast)]

Hallo,

wenn du wirklich in die detaillierten Tiefen einsteigen willst, empfehle 
ich den "Zverev" ("Handbook of Filter Synthesis", Anatol Zverev, Wiley & 
Sons Inc, New York). Ist noch antiquarisch zu haben.

Eine verdaulichere Abhandlung zur Ermittlung der Koeffizienten (für 
Butterworth/Tschebyscheff) ist das Buch "Introduction to Radio Frequency 
Design" von Wes Hayward, W7ZOI zu finden. Gibt's leider auch nur noch 
antiquarisch, teilweise zu Mondpreisen. Hier ein Link mit akzeptablen 
Preisen:

http://www.alibris.com/Introduction-to-Radio-Frequency-Design-Wes-Hayward/book/3317798

Die Filtertopics sind nur ein Teil dieses hervorragenden HF-Buchs 
(Seiten 44 - 101).

Die Koeffizienten für Butterworth sind einfach in geschlossener Form zu 
berechnen, bei Tschebyscheff wird's durch die Welligkeit etwas 
komplizierter, da hyperbolische Funktionen erforderlich sind. Anbei zur 
Erbauung eine Computer-Routine zur Berechnung von k und q Koeffizienten. 
"nPoles" ist Ordnungszahl, k[i] die Kopplungsfaktoren. Da hier die 
Filter (Bandfilter) symmetrisch aufgebaut sind, werden die k[i] nur bis 
zur Hälfte der Polzahl berechnet.

Sicher gibt es noch "mathematischere" Methoden, die ich nicht kenne.

Horst

[Mike (Gast)]

nicht Karl schrieb:
> Meine Frage zielt jetzt darauf
> ab, wie die Herren Butterworth & Co. die Koeffizienten fuer diese
> Uebertragungsfunktionen ermittelt haben.

Durch Koeffizientenvergleich, z.B. für die Buterworth-Filter
http://de.wikipedia.org/wiki/Butterworth-Filter#.C3.9Cbertragungsfunktion

[HST (Gast)]

Hallo Mike,

danke für den interessanten Link.
Um Missverständnissen vorzubeugen, möchte ich darauf hinweisen, dass die
üblichen Tscheby-Koeffizienten wie in Wikipedia und die in meinem
Listing unterschiedlich ausfallen. Das liegt daran, dass sich die
Basisberechnungen bei Wiki auf die sogenannte Welligkeitsbandbreite
(bzw. Eckfrequenz bei Hoch-/Tiefpassfiltern) und nicht auf die in der
HF-Technik übliche 3db-Definition beziehen.

Dafür gibt es (z.B. in Zverev, S.294) entsprechende Korrekturfaktoren
für Welligkeit w zu 3db als Funktion von n und w. Das wird im Listing in
den Berechnungen für "E" bis "W" durchgeführt (hier ein bisschen
umfangreich, um die hyperbolischen Funktionen nachzubilden). Ist aber
wohl nur für HF-Techniker wichtig.

Horst