Schwierigkeiten bei der Angabe - Potential Kugel mit Formel für Potential (unendlicher Bezugspunkt)

[Manki (Gast)]

Die Angabe lautet:

Berechnen Sie mit der Potentialformel für den unendlich weiten Referenzpunkt 
das Potential im Inneren einer gleichförmig geladenen Kugel mit Radius R 
sowie Gesamtladung q.

ich dachte mir das kann nicht so  schwierig sein und habe einmal 
losgerechnet. Die Volumladungsdichte ist konstant:

$$\rho=\frac{3q}{4 \pi R^3}$$

Die Formel für das Potential mit unendlich weitem Bezugspunkt ist 
klarerweise

$$V=\int_V \frac{dQ}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_V \frac{\rho r^2 \sin\theta dr d\theta d\varphi}{r}=\frac{\rho}{4\pi \varepsilon_0}\int d\varphi \int d\theta \int dr\left [ r \sin \theta \right ]$$

Aber offenbar  stimmt das nicht, denn das Integral liefert das Ergebnis

$$\frac{3r^2 q}{8 \pi R^3 \varepsilon_0}$$

Das Ergebnis sollte aber sein (siehe anderer Thread wo ich das händisch 
mit den Feldstärken gerechnet habe:

$$\frac{q}{8\pi \varepsilon_0 R} \left ( 3-\frac{r^2}{R^2} \right )$$

Jedoch kann ich mir im geringsten nicht vorstellen was da schiefgelaufen 
sein könnte?? Wieso stimmt dieses Feld im Inneren des Kugel nicht?

[Joachim (Gast)]

Manki schrieb:

> Aber offenbar  stimmt das nicht, denn das Integral liefert das Ergebnis
>

$$\frac{3r^2 q}{8 \pi R^3 \varepsilon_0}$$

Hier fehlt halt noch die Integrationskonstante. Das ist nur die 
Stammfunktion.

Das bestimmte Integral wird immer als Differenz der Stammfunktion an 
zwei Stellen berechnet.

Das Potential am Rand kennst Du von der Rechnung im Aussenraum. Das 
gleiche Ergebnis muss rauskommen, wenn Du von Innen aus das Potential am 
Rand betrachtest. Die Natur macht keine Sprünge.

Zusammen mit der Festlegung "Potential im unendlichen = 0" ergibt dies 
Deine Integrationskonstante für den Innenraum.

Gruß

[Manki (Gast)]

Nein nein, ich hatte einen Fehler in meiner Gleichung, denn ich muss ja 
das Potential in eine, beliebigen Punkt berechnen und nicht nur im 
Ursprung. Sowie ich es nämlich aufgeschrieben habe ist es das Potential 
im Ursprung..

[Joachim (Gast)]

Ach. Dort ist ja r=0. Also wäre im Ursprung auch V=0.

Oder was meinst Du?

Gruß

[Joachim (Gast)]

FYI:

http://people.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scriptenm/geladene-kugel.htm

Gruß