Randbedingungen in der Elektrostatik

[Erwin (Gast)]

Könnte mir irgendeiner erklären wozu ich die Randbedingungen in der 
Elektrostatik brauche?

Ich weiß zb, dass die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke 
gleich bleibt bei Flächenladungen. Jedoch springt die Normalkomponente.

Bei der Normalkomponente lege ich mir gedanklich eine gaußsche Schachtel 
um die Fläche oberhalb und unterhalb und mache die Höhe minimal und aus 
dem Divergenzssatz erhält man dann nachdem man die Fläche rauskürzt die 
Beziehung:

$$E_{n-oberhalb}-E_{n-unterhalb} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

wobei En immer die Normalkomponente ist.

Anders folgt nach

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

dass die Tangentiale Komponente immer gleich bleibt, also:

$$E_{t-oberhalb}-E_{t-unterhalb} = 0$$

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Das habe ich soweit verstanden. Jedoch ergeben sich jetzt einige 
speziellere Verständnisprobleme:

Laut meinem Lehrbuch können diese zwei unterschiedlichen Gleichungen in 
eine einzige zusammengefasst werden und zwar in:

$$E_{oberhalb}-E_{unterhalb} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{e}_n$$

Dabei ist e_n der Normalvektor zur Flächenladung der von unten nach pben 
zeigt.
Und hier die allererste Verständnisfrage:

Verständnisfrage:
Ich sehe überhaupt nicht ein wieso man diese zwei Gleichungen 
zusammenfassen kann zu einer. Wie kann ich mir das erklären?

Und gleich dazu die zweite:

Wozu das ganze? Und vor allem wann? 
Also wozu braucht man jetzt eigentlich diese Sprungbedingungen.
Und in welchen Fällen kann man diese berechnen?

Mein bisheriges Verständnis davon:
Das ganze wird erst dann und nur dann wichtig wenn wir eine 
Flächenladungsverteilung haben. Und diese ein eigenes Feld erzeugt. Und 
wir das E Feld genau an den Punkten bestimmen wollen wo die 
Flächenladung sitzt. ALso sozusagen auf der Ebene wo sich die 
Flächenladung befindet.

Ist das alles richtig so?

[Purzel H. (hacky)]

Es geht eigentlich eher darum, dass die Maxwell Gleichungen in 
vektorieller Form vorliegen, und man sie fuer ein paar pauschale 
Aussagen auseinanderziehen kann. Ohne lineare Algebra und 
Funktionalanalysis und Vektoralgebra ist allerdings nichts zu machen.

Dh man sollte dafuer Physik studieren, resp haben

[Dumdi D. (dumdidum)]

Wenn Du Deine Vektorgleichung (Du hast die Vektorpfeile über E 
vergessen!) mit e_n skalar multiplizierst dann bekommst Du die eine 
Gleichung, und falls Du das mit jedem Vektor der senkrecht zu e_n steht 
machst bekommst Du die andere.

[Erwin (Gast)]

dumdi dum schrieb:
> Wenn Du Deine Vektorgleichung (Du hast die Vektorpfeile über E
> vergessen!) mit e_n skalar multiplizierst dann bekommst Du die eine
> Gleichung, und falls Du das mit jedem Vektor der senkrecht zu e_n steht
> machst bekommst Du die andere.

Ok, das habe ich verstanden.
Bleibt nur noch die Frage wieso diese Randbedingungen interessant sind?
So nebenbei gesagt: Ich befinde mich gerade in der Elektrostatik und hab 
von Magnetismus noch keine Ahnung..

[Sven B. (scummos)]

Im Endeffekt willst du ja ein physikalisches System modellieren und dann 
sein Verhalten durch Lösen der Maxwellgleichungen vorhersagen. Eine 
geschickte Möglichkeit, zum Beispiel eine leitende Ebene zu modellieren, 
ist die Verwendung von Randbedingungen: Du sagst, das elektrische 
Potential auf der Ebene muss überall gleich sein. Physikalisch gesehen 
bist du dann fertig: diese Randbedingung gibt gewisse Kriterien für die 
Lösungen des Differentialgleichungssystems an, und die Lösungen, die die 
Kriterien erfüllen, sind für dich interessant.

[Erwin (Gast)]

Sven B. schrieb:
> zum Beispiel eine leitende Ebene zu modellieren,
> ist die Verwendung von Randbedingungen: Du sagst, das elektrische
> Potential auf der Ebene muss überall gleich sein. Physikalisch gesehen
> bist du dann fertig

Das ist ein gutes Beispiel. Was ist aber wenn ich zum Beispiel ein 
externes elektrisches Feld anlege. Dann stimmen doch die Randbedingungen 
nicht oder? Ich kann das sehr leicht zeigen indem ich das Feld im Bild 
betrachte.

Wenn weiter oben das externe Feld schwächer wird (was es ja auch tut), 
dann muss gelten:

$$\oint_{\partial\mathcal{V}}\vec{E}\cdot d\vec{a}\neq \frac{q}{\varepsilon_0}$$

Das ist aber ein Widerspruch zu allen Büchern die ich hier vor mir 
liegen habe. Also kann da was nicht stimmen.

[Sven B. (scummos)]

Hab' ich nicht ganz verstanden ...
Im statischen Fall ist das Innere eines idealen Leiters immer feldfrei. 
Es werden Ladungen induziert, bis das davon erzeugte Feld genau das 
externe Feld ausgleicht im Inneren des Leiters.

Das ist auch das coole an den Randbedingungen, im Endeffekt müsstest du, 
um das E-Feld von einem Dipol über einer Ebene zu kriegen, erst 
berechnen wie die Ladungen in dem Leiter induziert werden, dann den 
Leiter wegnehmen und dann das Feld der resultierenden Ladungsverteilung 
berechnen. Modellierst du den Leiter stattdessen als Randbedingung 
kannst du dir das sparen.