DIvergenz Elektrisches Feld 2 verschiedene Möglichkeiten?

[Manki (Gast)]

Angenommen das Potential einer Anordnung ist

$$V(\vec{r})=A\frac{e^{-\lambda r}}{r}$$

Dann ist das elektrische Feld nach bilden des negativen Gradienten von 
V:

$$\vec{E}=Ae^{-\lambda r}\left ( 1/r^2+\lambda/r \right )\vec{e}_r$$

Danach ist die Ladungsdichte nach Bilden der Divergenz von E:

$$\varrho(r)=\varepsilon_0 \left (\nabla \cdot \vec{E} \right )=\varepsilon_0 \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2Ae^{-\lambda r} \left [ \frac{1}{r^2} +\frac{\lambda}{r} \right ] \right )=\frac{\varepsilon_0 \lambda}{r}$$

Jedoch ist jetzt die Gesamtladung der ANordnung gesucht, also habe ich 
über den ganzen Raum integriert:

$$Q=\int_\tau \varrho(r) d\tau=\int_0^\infty dr \int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^\pi d\theta\sin\theta r^2 \frac{\varepsilon_0 \lambda}{r}=\infty$$

Jedoch ist genau diese Gesamtladung gesucht. Aber offenbar funktioniert 
das nicht.

Könnte man dieses Beispiel generell anders berechnen? Geht das? Weil für 
mich ist die Sache klar: So ein Feld existiert nicht, da ich unenlich 
viele Ladungen haben müsste. Das geht aber nicht.

Es kommt aber interessanterweise als Ergebnis 0 für die Gesamtladung 
raus. WIe kann das aber sein?

[Joachim (Gast)]

Manki schrieb:
> Angenommen das Potential einer Anordnung ist

Hiermit bringst Du doch schon die Unendlichkeit ins Spiel, wenn die 
Anordnung ansonsten nicht weiter eingeschränkt, begrenzt ist.


> ... Weil für
> mich ist die Sache klar: So ein Feld existiert nicht, da ich unenlich
> viele Ladungen haben müsste. Das geht aber nicht.


Das Integral rechnest Du bis ins Unendliche aus. Das heißt doch nur, 
dass die ganze Welt nicht mit obiger Anordnung erfüllt sein kann. Sie 
kann jedoch, wenn sie irgendwie begrenzt und endlich ist schon 
existieren. Außerhalb dieser Anordnung fällt das Feld dann immer mit 
1/r^2 ab. http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Gesetz

Gruß

[Manki (Gast)]

Versteh eigentlich überhaupt nicht was du mir sagen willst.