Die Laplacegleichung kommt aus der Poissongleichung und beschreibt das
elektrische Potential in Gebieten wo es keine Ladungen gibt.
Es gilt:
Diese Gleichung hat sogenannte harmonische Funktionen als Lösungen. Wenn
man die Gleichung ausschreibt so erhält man im Eindimensionalen Fall:
Die Lösungen dieser Gleichungen sind offensichtlich und können durch
zweifache Integration errechnet werden. Weiters werden 2 Randbedingungen
des Systems verlangt um die Potentialfunktion entgültig für die
jeweilige Anwendung festzulegen.
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In zwei Dimensionen erhält man folgendes:
Und bereits hier endet mein Verständnis für das Problem. Und zwar wegen
der komischen Beschreibung im Lehrbuch.
Zitat aus Lehrbuch:
1 | Der Wert V eines punkts (x,y) ist der Mittelwert der Umgebung dieses Punkts.
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2 | Genauer gesagt, wenn Sie einen Kreis mit einem beliebigen Radius R um den
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3 | Punkt (x,y) ziehen, dann ist der Mittelwert von V auf dem Kreis gleich dem Wert im Zentrum:
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1 | V besitzt keine lokalen Maxima und Minima. Alle Extremwerte befinden sich
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2 | an den Rändern (Wie eben folgt dies aus dem ersten Punkt). Wie schon zuvor
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3 | selektiert die Laplace-Gleichung die glatteste Funktion, die mit den
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4 | Randbedingungen verträglich ist: Es gibt keine Berge oder Täler, lediglich
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5 | die glatteste mögliche Oberfläche. Wenn Sie beispielsweise einen
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6 | Tischtennisball auf ein gespanntes Gummituch legen, rollt er zur Seite und
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7 | hällt herunter. Er wird keine Senke finden, in der er Ruhe finden kann,
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8 | denn die Laplace-Gleichung erlaubt keine Ausbeulungen in der Oberfläche.
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9 | Aus geometrischer Sicht minimiert eine harmonische Funktion in zwei
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10 | Dimensionen, die über die Randlinie gespannt ist, die Oberfläche auf
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11 | dieselbe Weise wie eine gerade Linie, die sich zwischen zwei Punkten
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12 | erstreckt.
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Ich verstehe absolut gar nicht wovon dieser Autor hier eigentlich
spricht??
Ich beherrsche die Rechenmethoden der Elektrostatik schon ziemlich gut
und dann kommt der Autor mit: Es ist einfacher die Laplacegleichung zu
lösen anstatt normale Elektrostatik zu betreiben. Aber meiner Meinung
nach seh ich nicht wieso das einfacher sein soll. Ich dachte eigentlich
dieser Autor ist gut weil er die Estatik bisher sehr gut erklärt hat,
jedoch als ich diese 2 Absätze gelesen habe bin ich kurz davor meine
Meinung zu ändern, denn was haben die Worte "Glattheit", "Tennisball",
"Täler", "Mittelwert", "Maxima und Minima", "harmonische Funktionen" mit
Elektrostatik zu tun??
Könnte mich irgendwer aufklären was mir der Autor mit diesen Hyroglyphen
beibeingen möchte?
Aber so, dass ich auch nachvollziehen kann? Wieso ist der Mittelwert so
wichtig ?? Ich versteh das nicht.--
bitte bitte hilfe!!
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