Mittleres Potential auf einer Kugeloberfläche bestimmen

[Manki (Gast)]

Hallo, ich weiß, dass es einigen schon am Nerv geht mit meinen 
Beiträgen. Aber wenn jemand keine Lust hat zu antworten, dann antwortet 
doch einfach nicht.  Dies hier ist ein "...Felder" Forum und daher ist 
mein Beitrag meiner Meinung nach passend. Es geht um folgendes: Ich habe 
wiedermal Probleme die Aufgabenstellung richtig zu deuten und brauche 
Hilfe weil mein Ergebnis nicht mit der Lösung übereinstimmt.

Sie lautet:

Bestimmen Sie das mittlere Potential auf einer Kugeloberfläche mit Radius R,
das von einer Punktladung q im Inneren hervorgerufen wird. Diese Punktladung 
befinde sich auf der z Achse und sie ist innerhalb der Schale, also z < R. 
In diesem Fall gilt die Laplace Gleichung nicht im Inneren der Kugel. Zeigen 
Sie, dass im Allgemeinen:

$$V_{mittel}=V_{zentrum}+\frac{Q_{eing}}{4\pi \varepsilon_0 R}$$

Dabei gibt V_zentrum das Potential im Zentrum aufgrund aller äußeren 
Ladungen und Q_eing die gesamte eingeschlossene Ladung an.

Das habe ich getan, und hier ist der Rechenweg (obwohl ich nicht ganz 
verstehe was es bringt wenn die Ladung doch innerhalb der 
Kugeloberfläche ist wo ich V_mittel berechne und somit die 
Laplacegleichung nicht gilt):

$$V_{mittel}=\frac{1}{4\pi R^2} \oint_{Kugel}Vda=\frac{1}{4\pi R^2} \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{\sqrt{z^2+R^2-2zR\cos\theta}} \left ( R^2 \sin\theta d\theta d\varphi \right )$$

Daraus ergibt sich dann:

$$V_{mittel} = \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 R z}\left ( \left | z+R \right | - \left | z-R \right | \right )$$

Wenn man jetzt fallunterschiedet, dann erhält man für z > R:

$$V_{mittel}(z>R) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 z}$$

Was auch mit der Laplacegleichng übereinstimmt und für z < R:

$$V_{mittel}(z<R) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$$

Was zwar nicht mit der Laplacegleichung übereinstimmen sollte jedoch 
trotzdem berechnet werden muss (aus irgendeinem Grund den ich nicht 
kenne).

V_mittel ist also für diese Aufgabe:

$$V_{mittel} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$$

und somit konstant und ich kann leider kein V_zentrum feststellen. Der 
Autor argumentiert so: V_zentrum entsteht aus den Ladungen außerhalb. 
Ok. das ist auch verständlich, dass man hier die Mittelwerteigenschaft 
(wo alles Ladungsfrei ist) ausnutzt. Jedoch kommt dann V_eing. Dieses 
V_eing wird aber unverständlicherweise GENAU SO über die Oberfläche 
gemittelt wie auch V_zentrum. Und das kann ich mir deshalb nicht 
erklären, da ja hier V nicht mehr harmonisch sein kann.

Generell ist mir dieses gesamte Beispiel etwas komisch. DENN: Was ist 
überhaupt das Ziel? Eine zeitlang kam es mir so vor als wäre das Ziel 
das Potential im Kugelschalenmittelpunkt zu berechnen, denn dann würde 
auch das Mitteln (Mittelwerteigenschaft) drumherum des Mittelpunktes 
auch sinn machen. Aber dann spricht der Autor von Ladung im Mittelpunkt 
usw usf..

Was ist das Ziel hier? Wo muss ich hin? Was berechne ich? Was ist 
V_mittel?


Danke schon im Voraus

[C. W. (chefkoch)]

http://www.physik.uni-wuerzburg.de/einfuehrung/SS06/06%20Feldberechnungen.pdf

[Manki (Gast)]

C. W. schrieb:
> http://www.physik.uni-wuerzburg.de/einfuehrung/SS06/06%20Feldberechnungen.pdf

Danke für den Versuch. Aber das geht leider am Thema vorbei.

[Johannes E. (cpt_nemo)]

Manki schrieb:
> Generell ist mir dieses gesamte Beispiel etwas komisch. DENN: Was ist
> überhaupt das Ziel? Eine zeitlang kam es mir so vor als wäre das Ziel
> das Potential im Kugelschalenmittelpunkt zu berechnen, denn dann würde
> auch das Mitteln (Mittelwerteigenschaft) drumherum des Mittelpunktes
> auch sinn machen.

Ich denke, das Ziel ist hier zu zeigen, dass das mittlere Potential 
nicht von der Position der Ladung innerhalb der Kugeloberfläche abhängt 
sondern nur von der Ladung selber, also die Herleitung der Gleichung von 
oben.

Es geht nicht darum, das Potential für diesen speziellen Fall zu 
berechnen, sondern das ist eher ein allgemeines Hilfsmittel, das man bei 
einer entsprechenden Problemstellungen anwenden kann und damit das 
mittlere Potential relativ einfach berechnen kann.

> ... und ich kann leider kein V_zentrum feststellen.

Das kannst du nicht, weil das ja von außen kommt. Du hast in deiner 
Berechnung nur die Ladung Q berücksichtig. Zusätzlich kann es aber von 
außen ein elektrisches Feld geben mit einem zugehörigen Potential. 
Dieses äußere Feld überlagert sich additiv dem Feld der Ladung Q.

[Manki (Gast)]

Johannes E. schrieb:
> Das kannst du nicht, weil das ja von außen kommt. Du hast in deiner
> Berechnung nur die Ladung Q berücksichtig. Zusätzlich kann es aber von
> außen ein elektrisches Feld geben mit einem zugehörigen Potential.
> Dieses äußere Feld überlagert sich additiv dem Feld der Ladung Q.

Ja gut, aber macht es wirklich sinn V_eing zu berechnen? Es ist ja der 
Mittelwert und innerhalb Kugelschale gilt ja die Laplacegleichung nicht.

[Johannes E. (cpt_nemo)]

Manki schrieb:
> Ja gut, aber macht es wirklich sinn V_eing zu berechnen?

Was soll denn V_eing sein? Q_eing ist die Punkt-Ladung, aber was ist 
V_eing?

[mse (Gast)]

Manki schrieb:
> Hallo, ich weiß, dass es einigen schon am Nerv geht mit meinen
> Beiträgen. Aber wenn jemand keine Lust hat zu antworten, dann antwortet
> doch einfach nicht.  Dies hier ist ein "...Felder" Forum und daher ist
> mein Beitrag meiner Meinung nach passend.
Das sehe ich auch so. Zwar habe ich jetzt keine Zeit (und zugegeben 
keine Lust) mich damit zu befassen, finde aber auch, dass sowas ins 
Felderforum passt und wenn's wen nicht interessiert, dann soll er es gar 
nicht erst lesen.
Von mir aus: weiterposten!

[Klaus N. (niedzwiedz)]

Hallo Manki,

ich interpretiere die Aufgabe so:

- eine Punktladung Q1 an bekannter Stelle (d1) innerhalb der Kugel

- (noch) unbekannte Punktladung Q2 an unbekannter Stelle (d2) ausserhalb
  der Kugel

- Kugeloberfläche (Radius R) ist nur dann Äquipotentialfläche, falls

  Q1/R1 = -Q2/R2

  mit

  R1=Wurzel(x*x+y*y+(z-d1)*(z-d1))
  R2=Wurzel(x*x+y*y+(z-d2)*(z-d2))

  und

  R=d1*d2

Mit der so bestimmten zweiten Ladung Q2 und dem Abstand d2 kann man dann 
Potential und Feldverteilung im Innen- und Aussenraum der Kugel 
herleiten.

Schlag mal nach unter "Spiegelungsmethode" oder "Spiegelung an einer 
Kugeloberfläche". Die "Spiegelladung" Q2 "ersetzt" die Wirkung der 
metallischen Kugeloberfäche auf Q1 und ermöglicht so die Berechnung im 
Innenraum (z<R). Im Aussenraum (z>R) überlagert sich das Feld von Q2 mit 
dem Feld von Q1 (jetzt als Punktladung im Ursprung, da Laplace-Gleichung 
gilt).

VG Niedzwiedz

[Johannes E. (cpt_nemo)]

Klaus Niedzwiedz schrieb:
> Kugeloberfläche (Radius R) ist nur dann Äquipotentialfläche, falls

Es ist doch in der Aufgabenstellung nirgends von einer 
"Äquipotentialfläche" die Rede. Das ist ja keine Metallkugel, zumindest 
steht das nicht in der Beschreibung von Manki.

Es geht darum, wie man das mittlere Potential, also den Mittelwert, über 
eine Kugeloberfläche (im Vakuum bzw. in Luft) berechnen kann, wenn sich 
eine Punktladung innerhalb und/oder außerhalb der Kugel befindet.

[Manki (Gast)]

Johannes E. schrieb:
> Es ist doch in der Aufgabenstellung nirgends von einer
> "Äquipotentialfläche" die Rede. Das ist ja keine Metallkugel, zumindest
> steht das nicht in der Beschreibung von Manki.

Finde ich auch so. Ich habe keine Ahnung was  Klaus Niedzwiedz mit 
seiner Berechnung meint. Ich bin ihm aber dankbar dafür.

Eine Frage: Wenn ich mich registriere, erhalte ich dann auch emails wann 
benachrichtigungen kommen?

[Johannes E. (cpt_nemo)]

Manki schrieb:
> Eine Frage: Wenn ich mich registriere, erhalte ich dann auch emails wann
> benachrichtigungen kommen?

Ja, man kann dann "E-Mail-Benachrichtigung einschalten" anklicken.

[Klaus N. (niedzwiedz)]

> Es ist doch in der Aufgabenstellung nirgends von einer
> "Äquipotentialfläche" die Rede. Das ist ja keine Metallkugel, zumindest
> steht das nicht in der Beschreibung von Manki.

Auch wenn es keine Metallkugel wäre, soll ja für das Potential auf der 
Kugeloberfläche gemäss Aufgabenstellung gelten

Vmittel = Vzentrum + Qeing/(4*PI*epsilon0*R) (= konstant !)

Konstantes Potential (=Äquipotentialfläche) erfüllt aber eben die 
metallische Kugel und daher kann man die "Spiegelungsmethode" anwenden.

Wäre es anders, könnte man gar nichts (Feld- und Potentialverteilung) 
berechnen, da ja die äusseren Ladungen unbekannt sind.

Nichts für ungut ...

Niedzwiedz

[Johannes E. (cpt_nemo)]

Klaus Niedzwiedz schrieb:
> Auch wenn es keine Metallkugel wäre, soll ja für das Potential auf der
> Kugeloberfläche gemäss Aufgabenstellung gelten ...

Das ist eigentlich nicht die Aufgabenstellung, sondern eher die Lösung 
bzw. das, was bewiesen werden soll.

> ... Vmittel = Vzentrum + Qeing/(4*PI*epsilon0*R) (= konstant !)

Wenn der Mittelwert konstant ist, bedeutet das nicht automatisch, dass 
auch das Potential auf der Fläche, über die gemittelt wird, konstant 
sein muss; das ist eher ein Sonderfall

Der Mittelwert ist übrigens auch nicht konstant. Er ist zwar von der 
Position der Ladung unabhängig, solange sie sich innerhalb der Kugel 
befindet; aber trotzdem noch abhängig vom Kugeldurchmesser und von der 
Ladung selber.

> Wäre es anders, könnte man gar nichts (Feld- und Potentialverteilung)
> berechnen, da ja die äusseren Ladungen unbekannt sind.

Das ist doch gerade der Trick an der Sache. Auch wenn die äußeren 
Ladungen unbekannt sind und wenn die Position der inneren Ladung in der 
Kugel unbekannt ist, kann man trotzdem den Mittelwert des Potentials auf 
der Kugeloberfläche berechnen.
Man muss dazu nur das Potential V_zentrum und die Ladung Q kennen und 
kann damit alles berechnen.

V_zentrum ist das Potential im Zentrum der Kugel, das man hätte, wenn 
die Ladung Q_eing nicht vorhanden wäre. Das kann man natürlich nur dann 
berechnen, wenn man die Ladungen außenrum kennt.
Das ist aber hier nicht Bestandteil der Aufgabe; hier wird angenommen, 
dass das Potential V_zentrum bekannt ist.

[Manki E. (manki)]

Johannes E. schrieb:
> Was soll denn V_eing sein? Q_eing ist die Punkt-Ladung, aber was ist
> V_eing?

$$V_{mittel} = V_{zentrum}+V_{eing}$$

Wobei:

$$V_{eing} = \frac{Q_{eing}}{4\pi \varepsilon_0 R}$$

Ich mein, ich weiß schon was er da macht. Er berechnet mit V_zentrum das 
Potential welches von Ladungen außerhalb der Kugel verursacht wird. Und 
mit V_eing berechnet er das (meiner Meinung nach) unphysikalische 
"mittlere Potential" so:

$$V_{mittel}=\frac{1}{4\pi R^2} \oint_{Kugel}Vda=\frac{1}{4\pi R^2} \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{\sqrt{z^2+R^2-2zR\cos\theta}} \left ( R^2 \sin\theta d\theta d\varphi \right )=\frac{Q_{eing}}{4\pi \varepsilon_0 R}$$

Aber welche physikalische bedeutung hat dieses V_eing eigentlich?

Lg