Abgetastetes Signal fouriertransformieren

[Marko (Gast)]

Ich habe ein kontinuirliches Signal

$$u(t) = A\sin(2\pi f_1 t) + B\sin(2\pi f_2 t)$$

dieses wird mit der Abtastzeit Ta abgetastet. Nun ist dieses fourier 
zutransformieren.

Laut meiner Diskreten FOuriertransformationstabelle ist die 
Transformation eines Sinussignals so:

$$\sin \left( \frac{2\pi m}{N} n \right) \rightarrow \frac{N}{2j} \delta[k-m] - \frac{N}{2j} \delta[k+m-N]$$

Jetzt stellt sich mir folgende Frage: Wie groß ist das N? Weil 
eigentlich muss ich ja die Periode der Summe der zwei Schwingungen 
betrachten und nicht nur eine Schwingung. Demnach kann ich nicht die 
Fouriertransformationen für beide separat mit

$$N_1 = \frac{1/f_1}{T_A}$$

$$N_2 = \frac{1/f_2}{T_A}$$

durchführen und dann beides addieren oder?
-----------------------------------
Das abgetastete Signal u[n] ist:

$$u[n] = A\sin \left( 2\pi f_1 nT_A \right) + B\sin \left( 2\pi f_2 nT_A \right)$$

Wie mache ich da weiter?

[Selbsternannter Weltverbesserer (Gast)]

Hallo,

Marko schrieb:
> Wie groß ist das N?

das "N" ist die (gesamte) Anzahl der Abtastwerte. In Deinem Fall gibt es 
kein "N_1" und "N_2" es gibt sozusagen nur ein "N". Du tastest das aus 
zwei Sinusschwingungen bestehende Signal doch nur einmal ab.

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Marko (Gast)]

Selbsternannter Weltverbesserer schrieb:
> Du tastest das aus
> zwei Sinusschwingungen bestehende Signal doch nur einmal ab.

Ja eh. Aber wie kann ich das N berechnen?

[User0815 (Gast)]

Das N muss so gewählt werden, das die Schwingung mit der höchsten 
Frequenz pro Periode mindestens zweimal abgetastet wird. (Shannon)

[User0815 (Gast)]

Wenn du zum Beispiel jede sekunde eine transformation durchführen willst 
und dann zum Beispiel f=50hz abtasten willst, wäre dein n=100. kleine 
Frequenzen bis 1 Hz bekommst du in dem Fall automatisch mit dabei

[Marko (Gast)]

Das heißt aber dann so:

$$N = \frac{1}{2f_{max} T_A}$$

[User0815 (Gast)]

Naja Ta ist ja eher das Intervall was zwischen zwei Messpunkten liegt.

[Sven B. (scummos)]

?

Das N ist die Anzahl genommener Samples und bestimmt die spektrale 
Auflösung. Das kannst du erstmal frei wählen wie du willst.

[Marko (Gast)]

Sven B. schrieb:
> Das N ist die Anzahl genommener Samples und bestimmt die spektrale
> Auflösung. Das kannst du erstmal frei wählen wie du willst.

Stimmt eigentlich...

[Sven B. (scummos)]

Es gibt allerdings eine spezielle Wahl die in dem Fall wohl geschickt 
ist, nämlich so, dass du genau eine volle Periodendauer des Signals 
abtastest. Vielfache davon wären auch okay. Wenn du was zwischendrin 
nimmst, entstehen Fehler im Spektrum dadurch dass die "periodisches 
Signal"-Annahme der DFT verletzt wird.

[Marko (Gast)]

Sven B. schrieb:
> Es gibt allerdings eine spezielle Wahl die in dem Fall wohl geschickt
> ist, nämlich so, dass du genau eine volle Periodendauer des Signals
> abtastest. Vielfache davon wären auch okay. Wenn du was zwischendrin
> nimmst, entstehen Fehler im Spektrum dadurch dass die "periodisches
> Signal"-Annahme der DFT verletzt wird.

Das wollte ich gerade erwähnen!! Aber mein eigentliches Problem war ja, 
dass ich nicht weiß wie die Periode aussieht. Ich weiß wie die Periode 
der einzelschwingungen aussieht, aber nicht der gesamtschwingung!

[Sven B. (scummos)]

Marko schrieb:
> Das wollte ich gerade erwähnen!! Aber mein eigentliches Problem war ja,
> dass ich nicht weiß wie die Periode aussieht. Ich weiß wie die Periode
> der einzelschwingungen aussieht, aber nicht der gesamtschwingung!

Soll das jetzt ein theoretisches Problem sein für den allgemeinen Fall, 
oder für diesen Fall? Du weißt doch wie das aussieht, die Funktion steht 
doch da. Plotte es einfach mal. Das gibt so eine Schwebung, mit einer 
Einhüllenden mit Periodendauer 1/(|f2-f1|).

[Marko (Gast)]

Sven B. schrieb:
> Einhüllenden mit Periodendauer 1/(|f2-f1|).

Ja, ich wusste nur nicht ob f1-f2 oder aber f1+f2.

[Sven B. (scummos)]

Naja das Problem hätte sich durch kurzes Nachdenken oder ausprobieren ja 
hoffentlich leicht lösen lassen. Setz' mal f1=f2, dann wäre f1+f2 = 2f1, 
was offensichtlich völliger Unfug ist.

[Marko (Gast)]

Marko schrieb:
> Ja, ich wusste nur nicht ob f1-f2 oder aber f1+f2.

auch ist es einwenig komisch, denn einmal ist bei f1-f2 die Frequenz 
negativ und wenn ich die zwei Sinuse wider verdrehe, dann wieder 
positiv.
Außerdem denke ich, dass es (f2-f1)/2 sein müsste oder?

[Marko (Gast)]

So, ich habe jetzt ein praktisches Beispiel: Bei f1 = 5kHz und f2 = 
11kHz habe ich eine resultierende Frequenz von f = 3kHz = 3000Hz. Und 
sagen wir ich habe eine Abtastrate von 20000Hz.

Das N ist die gesamte Periode dividiert durch die ABtastzeit:

$$N = \frac{1}{f_{res} \cdot T_A} = \frac{1}{3000 \cdot \frac{1}{20000}}=6.66$$

Das bedeutet wohl, dass bei dieser Abtastfrequenz unmöglich genau die 
Periode erwischt wird.

[Sven B. (scummos)]

Marko schrieb:
> Außerdem denke ich, dass es (f2-f1)/2 sein müsste oder?
Das stimmt, ja. Sorry.

> auch ist es einwenig komisch, denn einmal ist bei f1-f2 die Frequenz
> negativ und wenn ich die zwei Sinuse wider verdrehe, dann wieder
> positiv.
Das ist egal.

> Das bedeutet wohl, dass bei dieser Abtastfrequenz unmöglich genau die
> Periode erwischt wird.
Nicht eine einzelne, ja. Aber nach irgendwievielen Perioden fallen die 
zusammen.
In der Praxis ist das eh Quatsch, monochromatische Signale wie dieses 
hier existieren gar nicht. Du hast real immer das Problem dass du 
irgendwo abschneiden musst.

[Marko (Gast)]

Gut, dann wäre aber immer noch das Problem mit der Berechnung des 
Spektrums. Denn wie soll ich die zwei Teilsignale auf die Form bringen:

$$x[n] = \sin \left( \frac{2\pi m}{N} n \right)$$

weil N ist ja indem Fall so:

$$N = \frac{2}{|f_1-f_2| T_A}$$

[Marko (Gast)]

Also nochmal klartext: Wie kann ich die Fouriertransformation dieses 
Signals berechnen:

$$u[n] = A\sin(2\pi f_1 nT_A) + B\sin(2\pi f_2 nT_A)$$

mit Hilfe von dieser Formel:

$$\sin \left( \frac{2\pi m}{N} n \right) \rightarrow \frac{N}{2j} \delta[k-m] - \frac{N}{2j} \delta[k+m-N]$$

[Sven B. (scummos)]

Linearität der FT benutzen?

[marko (Gast)]

Sven B. schrieb:
> Linearität der FT benutzen?

Ja, das will ich ja, aber was kommt dann raus? ich müsste für die zwei 
Schwingungen ein m und ein N im Argument des Sinus stehen haben. Nur wie 
forme ich um, sodass ich das kriege? Vorallem ist das schwierig da das N 
=2/(|f1-f2|*Ta) ist. Wie forme ich das Argument so um, dass dort N 
vorkommt?

Zum einen nutze ich die Summensätze aus um das N zu bestimmen, und dann 
nutze ich doch die linearität aus welches aber die Argumente mit N und m 
verlangt. Aber welche?

[Sven B. (scummos)]

Ich meinte dass du benutzt dass F(sin(w1 x) + sin(w2 x)) = F(sin(w1 x)) 
+ F(sin(w2 x)) ist. Hilft das nicht?

[marko (Gast)]

Sven B. schrieb:
> Ich meinte dass du benutzt dass F(sin(w1 x) + sin(w2 x)) = F(sin(w1 x))
> + F(sin(w2 x)) ist. Hilft das nicht?

Es hilft schon, aber was ist m1 und m2?