Mathefrage: archimedische Spirale auf Kugeloberfläche

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo Kollegen,

ich hab was zu berechnen versucht. Und zwar ist in

http://de.wikipedia.org/wiki/Spirale#Dreidimensionale_Spiralen

eine archimedische Spirale auf einer Kugeloberfläche beschrieben. Ich 
will nun die Länge einer solchen Spirale berechnen; vom Nordpol zum 
Südpol soll die Spirale 10 Umgänge haben. Also habe ich mir folgende 
Parametrierung überlegt. Da ich nicht weiss, wie man dieses DING in 
kartesischen Koordinaten beschreiben soll, habe ich Kugelkoordinaten 
angewandt.

$$r = 1$$

(der Radius ist ja konstant)

$$\varphi = t$$

(das wäre der Azimutwinkel)

$$\vartheta = \frac{1}{10}\,t$$

(das wäre der Elevationswinkel)

und mein Parameter t geht von -10pi bis 10pi. Dann macht, gemäss meinen 
Überlegungen, die Spirale 10 Umgänge. Siehe Bild. Wie berechnet man 
jetzt die Länge? also das Bogenelement in Kugelkoordinaten ist doch

$$ds^2 = dr^2 + r^2\sin^2\vartheta\,d\vartheta^2 + r^2\,d\varphi^2$$

und wenn ich nun dt^2 ausklammere:

$$ds = \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\sin^2\vartheta\,\left(\frac{d\vartheta}{dt}\right)^2 + r^2\,\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2} \, dt$$

Dann sollte doch die Länge

$$L = \int\limits_{-10\,\pi}^{10\,\pi} ds = \int\limits_{-10\,\pi}^{10\,\pi} \sqrt{ \frac{1}{100}\sin^2\frac{t}{10} + 1} \, dt$$

betragen. Mein Maxima meint dazu, dass der Wert etwa 62.988 sein soll.

Das ist ja etwas mehr als 20pi, was ansich realistisch ist, aber weiss 
einer von euch, ob ich richtig gerechnet habe bzw. kennt eine Formel? 
ich hätte einen grösseren Wert erwartet :-/

Gruss
Tobias

[Max M. (jens2001)]

Differential u. Integralrechnung sind bei mir 30 Jahre her.
20 Pi erscheint mir aber zu viel. Das sind 10xÄquatorumfang.

[Tobias P. (hubertus)]

Hi Max,

ja, stimmt schon, das ist 10facher Äquatorumfang, aber man muss beachten 
das

a) die Spirale in der Tat 10 Umgänge hat und
b) ja noch eine Steigung hat, die auch noch zur Kurvenlänge beiträgt, 
ich glaube, die Schätzung ist nicht so trivial ;-) Aber zweifelsohne ist 
es mehr, als man erwarten würde. Aber der Wert ist definitiv grösser als 
1x Äquatorumfang.

[Johann L. (gjlayde)]

Tobias Plüss schrieb:
> jetzt die Länge? also das Bogenelement in Kugelkoordinaten ist doch
>

$$ds^2 = dr^2 + r^2\sin^2\vartheta\,d\vartheta^2 + r^2\,d\varphi^2$$

Soll wohl heißen

$$\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\sin^2\!\varphi\,\mathrm d\vartheta^2 + r^2\,\mathrm d\varphi^2$$

[Tobias P. (hubertus)]

Johann L. schrieb:
> Tobias Plüss schrieb:
>> jetzt die Länge? also das Bogenelement in Kugelkoordinaten ist doch
>>

$$> ds^2 = dr^2 + r^2\sin^2\vartheta\,d\vartheta^2 + r^2\,d\varphi^2 >$$

>
> Soll wohl heißen
>

$$\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\sin^2\!\varphi\,\mathrm > d\vartheta^2 + r^2\,\mathrm d\varphi^2$$

Hmm, ich habe es jetzt 3x nachgerechnet und kommt immer auf das selbe, 
nämlich

$$ds^2 = dr^2 + r^2\sin^2\vartheta\,d\vartheta^2 + r^2\,d\varphi^2$$

sollte also passen. Das doofe ist, dass es für die Kugelkoordinaten zwei 
verschiedene Definitionen gibt, wie ich erst jetzt herausgefunden habe - 
eine 'geographische', wo der Elevationswinkel vom Äquator aus gemessen 
wird, und eine polare, wo der Azimutwinkel vom Nordpol aus gemessen 
wird.

[Johann L. (gjlayde)]

Tobias Plüss schrieb:
> Johann L. schrieb:
>> Tobias Plüss schrieb:
>>> jetzt die Länge? also das Bogenelement in Kugelkoordinaten ist doch

$$>>> ds^2 = dr^2 + r^2\sin^2\vartheta\,d\vartheta^2 + r^2\,d\varphi^2$$

>> Soll wohl heißen

$$>> \mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\sin^2\!\varphi\,\mathrm d\vartheta^2 + r^2\,\mathrm d\varphi^2$$

> Hmm, ich habe es jetzt 3x nachgerechnet und kommt immer auf das selbe,
> nämlich

$$> ds^2 = dr^2 + r^2\sin^2\vartheta\,d\vartheta^2 + r^2\,d\varphi^2$$

> sollte also passen.

Ein Fehler verschwindet nicht durch Abnutzung wenn man ihn oft genug 
wiederholt ;-)

> Das doofe ist, dass es für die Kugelkoordinaten zwei
> verschiedene Definitionen gibt, wie ich erst jetzt herausgefunden habe -
> eine 'geographische', wo der Elevationswinkel vom Äquator aus gemessen
> wird, und eine polare, wo der Azimutwinkel vom Nordpol aus gemessen
> wird.

Dein Spirale ist offenbar "geographisch" weil die Elevation bei t=0 
ebenfalls 0 ist.  Allerdings läuft die Elevation nur von -pi/2 (-90°) 
bis pi/2 (90°) im Gegensatz zu deiner Spirale, wo sich die Elevation 
quasi überschlägt und von -180° (-pi) bis 180° (pi) reicht.

Von Kugel geographisch zu Kartesisch gelangt man etwa per

$$\begin{align} x &= r \cos \vartheta \, \cos \varphi\\ y &= r \cos \vartheta \, \sin \varphi\\ z &= r \sin\vartheta \end{align}$$

Die lokalen Eigenschaften sind gegeben durch die Jacobi-Matrix

$$J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\vartheta,\varphi)} =\begin{pmatrix} \cos\vartheta\cos\varphi & -r\sin\vartheta\cos\varphi & -r\cos\vartheta\sin\varphi\\ \cos\vartheta\sin\varphi & -r\sin\vartheta\sin\varphi & r\cos\vartheta\cos\varphi\\ \sin\vartheta & r\cos\vartheta & 0 \end{pmatrix}$$

D.h. die Differentiale transformieren sich gemäß (dx, dy, dz) = J·(dr, 
dtheta, dphi) und der metrische Tensor J^t·J ist eine Diagonalmatrix mit 
Diagonalelementen 1, r² und r²cos²theta.  Folglich ist das Quadrat eines 
Linienelements

$$\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\vartheta^2 + r^2\cos^2\vartheta\mathrm d\varphi^2$$

Nicht das, was ich ober schrub :-( aber diesmal stimmt es:

- Der Abstand zweier Breitenkreise ist unabhängig von der geograpischen 
Breite (theta) und unabhängig von der geographischen Länge (phi), daher 
kann dtheta weder mit (einer Funktion von) phi skalieren noch mit einer 
von theta selbst.

- Zwei Längenkreise haben maximalen Abstand am Äquator (theta=0) und 
treffen sich an den Polen (|theta|=pi/2), denn dphi skaliert effektiv 
mit mit cos |theta|.

[Tobias P. (hubertus)]

Moin Johann

ich habs auch über die Jacobideterminante gerechnet. Aber in der Tat 
komme ich einfach konstant auf ein anderes Ergebnis als du :-) was 
vermutlich mit unterschiedlichen Definitionen von Kugelkoordinaten zu 
tun hat. Aber mit meiner Definition komme ich auf das (siehe Anhang).

Dann habe ich deinen Tipp nochmals angeschaut, dass bei mir die 
Elevation ein bisschen komisch ist. Stimmt, daher habe ich die Kurve 
nochmals umparametrisiert (auch siehe Anhang, ganz unten), wenn man das 
mit gnuplot zeichnet, komme ich auf das selbe Ergebnis, und mit dem 
Integral auf eine leicht andere Bogenlänge, aber immer noch in der 
selben Grössenordnung. Ich bin fast sicher, es müsste stimmen, aber dass 
du ein anderes Bogenelement bekommst, verunsichert mich :-)


Gruss

[Max M. (jens2001)]

Wie gesagt ist Mathe bei mir 30Jahre her.
Und ich bin kein Wissenschaftler sondern Praktiker.
Ich komme Näherungsweise auf eine Länge von 40,165.
Auf keinen Fall länger als 45,954 oder kürzer als 33,387

[Johann L. (gjlayde)]

Tobias Plüss schrieb:
> Moin Johann
>
> ich habs auch über die Jacobideterminante gerechnet. Aber in der Tat
> komme ich einfach konstant auf ein anderes Ergebnis als du :-) was
> vermutlich mit unterschiedlichen Definitionen von Kugelkoordinaten zu
> tun hat. Aber mit meiner Definition komme ich auf das (siehe Anhang).

Sieht aus als sei deine Verwendung von phi und theta nicht konsistent; 
so ist dein J = d(x,y,z)/d(r,phi,theta) und nicht 
d(x,y,z)/d(r,theta,phi) was dazu führt, dass der Vorfaktor von dtheta 
von theta abhängt (was nicht sein kann, zumindes nicht wenn man 
Kugelkoordinaten wie üblich definiert, egal of z eine Funktion von 
sin(theta) oder von cos(theta) ist).  Dadurch werden in der Folge die 
Differentiale bzw. deren Vorfaktoren falsch zugeordnet.

Hingegen braucht dphi einen von theta abhängigen Vorfaktor.  Eine 
anschauliche Begründung dafür habe ich oben gegeben.

Wenn z von cos(theta) abhängt, dann muss theta von 0 bis pi laufen (oder 
von pi bis 0), und nicht von -pi/2 bis pi/2.  Bei der Spirale kommt aus 
Symmetriegründen vermutlich das gleiche raus, aber im Allgemeinen ist 
das nicht der Fall.

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo Johann

aha, jetzt kommen wir der Sache auf die Spur. Also meine Jabocimatrix 
ist falsch? ich sehe grad nicht ganz, wieso ich bei J nach r, phi und 
theta ableiten muss, anstatt r theta und phi.


Edit:
HA! grade habe ich was bemerkt. Ich habe da einen Tippfehler drin! Beim 
Vereinfachen mit Maxima ist mir ein Fehler unterlaufen und ich habe 
versehentlich ein dphi durch ein dtheta ersetzt. Jetzt, wo ich es 
nochmals eingegeben habe, komme ich auf:

$${d\phi}^{2}\,{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}+{d\theta}^{2}\,{r}^{2}+{dr}^{2}$$

Damit komme ich jetzt auf eine Bogenlänge von 40.24400900707901.

@Max Mustermann:
wie rechnest du das überschlagsmässig? würde mich jetzt echt 
interessieren.

[Max M. (jens2001)]

Tobias Plüss schrieb:
> @Max Mustermann:
> wie rechnest du das überschlagsmässig? würde mich jetzt echt
> interessieren.

Poor Man's Mathematik!

Ich teile die Kugel, ausgehend vom Equator, in 10 Streifen von Pi/10 
Breite.
Die Streifen haben jetzt einen langen Umfang, einen mittleren Umfang und 
einen kurzen Umfang. Die Streifen an den Polen entarten zu einem Ring 
mit dem Innendurchmesse 0(Null).

Jenachdem ob ich die langen, mittleren oder kurzen Umfänge(Ist das der 
richtige Plural?) aufaddiere erhalte ich Werte für obere Grenze, Mitte 
und untere Grenze.

Mir ist klar dass das absolut nicht mathematisch korrekt ist!!!

Aber 0,2% Abweichung ist für viele technische Berechnungen völlig 
ausreichend

[Tobias P. (hubertus)]

Nicht schlecht! und du kommst sehr genau auf den wahren Wert! :-)

darauf hätte ich eigentlich auch kommen können, dann hätte ich auch 
gleich gemerkt, dass mein erster Wert zu gross war mit >60 ;-)

[Max M. (jens2001)]

Tobias Plüss schrieb:
> dass mein erster Wert zu gross war mit >60 ;-)

[Klugscheiß]
Hab ich doch gleich gesagt!
[/Klugscheiß]
;-)