Hallo Forum, vorab, nein, es ist keine Hausaufgabe. ;-) Ich habe vor kurzem ein Paket mit vielen kleinen Dingen auspacken müssen. Im Traum (warum auch immer) habe ich mich dann gefragt, wieviel Kugeln (1cm Durchmesser) wohl maximal in eine 1m x 1m x 1m große Kiste passen. Die Frage klingt zuerst trivial, ist sie aber nicht. Ideen? :-) PS: Das Ergebnis sollte mathematisch berechnet und ohne grafische Konstruktion erfolgen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung Sir Walter Raleigh wollte auf seinem Schiff Kanonenkugeln stapeln - steht da als historische Erklärung zur Fragestellung.
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Ich gehe dass ganz naiv an und rechne das mit den Kopf aus. Ich denke mir auf einen Kubikzentimeter passt nur eine einzige Kugel von einem cm Durchmesser. Deine Kiste hat 100cmx100cmx100cm. Das macht? 1000000 Plätze für eine Kugel mit etwas Luft außenrum... Aber es das ist nur die rechnerische Seite. Die praktische Seite mit einer geschütteten Füllung muß man raten...
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Nö. Man kann Kugeln auch ineinander stapeln. Z.B. 4 unten, eine in der Mitte drauf, die leicht in die 4 eintaucht. Dann gehen mehr in ein gegebenes Volumen. Wieviel genau, kann man rechnen...
Justin C. schrieb: > Man kann Kugeln auch ineinander stapeln. Z.B. 4 unten, eine in der Mitte > drauf, die leicht in die 4 eintaucht. Dann gehen mehr in ein gegebenes > Volumen. Kannst sie auch zu Würfel pressen... Mach mal ein Photo deiner Anordnung. Nimm dazu Christbaumkugeln und mach mir ein Photo....
Justin C. schrieb: > Man kann Kugeln auch ineinander stapeln. Z.B. 4 unten, eine in der Mitte > drauf, die leicht in die 4 eintaucht. Dann gehen mehr in ein gegebenes > Volumen. Das glaube ich noch nicht einmal: In der nächsten Lage "verschenke" ich das Volumen von 4 1/4 Kugeln d.h. einer Kugel, wenn ich so stapele, wie Du sagst. Besser wird wohl sein, so wie Herbert an's Werk zu gehen. MfG Paul ------------------------------------------------------------------------ -- O.T. Betritt ein Mann eine Bäckerei und sagt: "Ich möchte Rumkugeln!" Die Verkäuferin weist auf den Fußboden und sagt: "Bitte -wenn Sie Spaß dran haben!..."
Paul B. schrieb: > Das glaube ich noch nicht einmal Warum glauben, wenn du wissen kannst? Setzt natürlich voraus, daß du das hier gelesen hast: Christoph K. schrieb: > https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung
https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung Dort steht: Innerhalb einer Schicht berührt dabei jede Kugel sechs Nachbarkugeln. Das ist mir nicht klar. Meiner Meinung nach müssten es 8 Nachbarkugeln sein, zumindest in der 2. Lage: Meine Kugel berührt 4 Stück in der untersten Lage und weitere 4 Stück in der Lage über ihr, d.h. in der 3. Lage. MfG Paul
Das ist doch dann aber nicht "innerhalb einer Lage".
Sven B. schrieb: > Das ist doch dann aber nicht "innerhalb einer Lage". Richtig. Dem TO ging es aber um das Füllen eines Quaders mit 1 Kubikmeter Rauminhalt. Wenn er nicht nur eine Kugel hat, die riesig ist [;-)]und den ganzen Raum allein ausfüllt, dann muß es ja mehrere Lagen geben. MfG Paul
Christoph K. schrieb: > Sir Walter Raleigh wollte auf seinem Schiff Kanonenkugeln stapeln - > steht da als historische Erklärung zur Fragestellung. Ich finde auf manche Dinge die viel Zeit verbrauchen und praktisch nichts bringen kann ich gut verzichten. Ich schütte meine Kugeln in die Kiste und gut ist es. An langwierigen mathematischen Lösungen bin ich nicht interessiert, weil sie viel von dem kosten was ich am allerwenigsten habe, Zeit. In diesen Packmodellen müßte man die Kugeln mit Sekundenkleber aneinander pappen um nicht wahnsinnig zu werden beim Versuch aus der Theorie eine maximlal gefüllte Kiste zu machen. Was tut man dann damit? Im deutschen Museum ausstellen?.;-)
Herbert Z. schrieb: > Christoph K. schrieb: >> Sir Walter Raleigh wollte auf seinem Schiff Kanonenkugeln stapeln - >> steht da als historische Erklärung zur Fragestellung. > > Ich finde auf manche Dinge die viel Zeit verbrauchen und praktisch > nichts bringen kann ich gut verzichten. Ich schütte meine Kugeln in die > Kiste und gut ist es. An langwierigen mathematischen Lösungen bin ich > nicht interessiert, weil sie viel von dem kosten was ich am > allerwenigsten habe, Zeit. In diesen Packmodellen müßte man die Kugeln > mit Sekundenkleber aneinander pappen um nicht wahnsinnig zu werden beim > Versuch aus der Theorie eine maximlal gefüllte Kiste zu machen. Was tut > man dann damit? Im deutschen Museum ausstellen?.;-) Ach nö, das ist Gripsgymnastik. Schadet doch nicht. Jetzt mal: Wenn jede Kugel 6x berührt, sind in der ersten Lage die Reihen versetzt. Das lässt sich schon mit ein wenig Pythagoras konstruieren. ( Um die Anzahl möglicher Reihen zu Bestimmen.) Dann die nächste Lage: Jede Reihe um eine halbe Kugel versetzt, aber welche Höhe entsteht? Es reicht schon fast, sich mal auf einem Blatt diese Schichtung aufzumalen ( Draufsicht und Seitenansicht ) es gibt da einen Winkel... Ab dann wird es einfach. Grüße Bernd
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Bernd F. schrieb: > Jetzt mal: Wenn jede Kugel 6x berührt, sind in der ersten Lage > die Reihen versetzt. Wenn... Was ist mit den Außen-Kugeln? Die haben weniger Nachbarn. MfG Paul
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Paul B. schrieb: > Was ist mit den Außen-Kugeln? Die haben weniger Nachbarn. Da sind sie in guter Gesellschaft. Das geht den Atomen im Kristallgitter genauso.;-)
Paul B. schrieb: > Bernd F. schrieb: >> Jetzt mal: Wenn jede Kugel 6x berührt, sind in der ersten Lage >> die Reihen versetzt. > > Wenn... > Was ist mit den Außen-Kugeln? Die haben weniger Nachbarn. > > MfG Paul Paul, es geht um das Prinzip :) So mal grundsätzlich. Du hast natürlich recht. Grüße Bernd
Herbert Z. schrieb: > In diesen Packmodellen müßte man die Kugeln > mit Sekundenkleber aneinander pappen um nicht wahnsinnig zu werden beim > Versuch aus der Theorie eine maximlal gefüllte Kiste zu machen. Was tut > man dann damit? Im deutschen Museum ausstellen?.;-) Das stimmt überhaupt nicht. Die Kugeln werden sich unter vielen Umständen auch von alleine so organisieren. Außerdem ist das zum Beispiel in der Festkörperphysik wichtig.
Sven B. schrieb: > Die Kugeln werden sich unter vielen > Umständen auch von alleine so organisieren. Außerdem ist das zum > Beispiel in der Festkörperphysik wichtig. ...oder, wen der Weihnachtsbaum umfällt. ;-) MfG Paul
Herbert Z. schrieb: > Christoph K. schrieb: >> Sir Walter Raleigh wollte auf seinem Schiff Kanonenkugeln stapeln - >> steht da als historische Erklärung zur Fragestellung. > > Ich finde auf manche Dinge die viel Zeit verbrauchen und praktisch > nichts bringen kann ich gut verzichten. Ich schütte meine Kugeln in die > Kiste und gut ist es. An langwierigen mathematischen Lösungen bin ich > nicht interessiert, weil sie viel von dem kosten was ich am > allerwenigsten habe, Zeit. In diesen Packmodellen müßte man die Kugeln > mit Sekundenkleber aneinander pappen um nicht wahnsinnig zu werden beim > Versuch aus der Theorie eine maximlal gefüllte Kiste zu machen. Was tut > man dann damit? Im deutschen Museum ausstellen?.;-) In der Zeit, in der du diesen Text ausgedacht, getippt und abgeschickt hast, hättest du die Packungsdichte auch ausrechnen können. Ich weiß nicht, wie es dir geht, aber mir persönlich macht unnützes Rechnen i.Allg. mehr Spaß als unnütze Texte schreiben, weil einem das Rechnen im Gegensatz zum Texte Schreiben wenigstens noch einen kleinen Erkenntnisgewinn bringt. Außerdem ist das Bernd F. schrieb: > Gripsgymnastik also gesund für den Kopf :) PS: Für diesen unnützen Text habe ich sogar noch etwas länger gebraucht als für die vorangegangene unnütze Berechnung der Packungdichte ;-)
Yalu X. schrieb: > In der Zeit, in der du diesen Text ausgedacht, getippt und abgeschickt > hast, hättest du die Packungsdichte auch ausrechnen können. Lieber xalu! Diesen Text habe ich mir nicht ausgedacht sondern er ist mir von der Seele geflossen. Wenn es nur um "Gripsgymnastik" geht dann gäbe es bessere Themen (immerhin verhungern in der heutigen Zeit noch viele Menschen zb.ua.)um nur mal eine Stretchingmöglichkeit zu benennen. Das wäre doch schon mal ein besserer Grund sich und sein Hirn zu stretchen. So eine Kugelkiste ist ja nix brauchbares,befriedigt nur Mathematiker und der Praktiker ärgert sich nur weil er die Kugel erst wegräumen muss um bis zu seiner neuen Fräsmaschine vor zu stoßen.;-) Schön,dass die Meinungsfreiheit in Deutschland so ein hohes Gut ist.
Zitat aud dem Wikipedia-Artikel: Erst 1998 gelang es dem amerikanischen Mathematiker Thomas Hales, für den allgemeinen Fall die Vermutung mittels eines Computerbeweises zu zeigen. Jedoch wird von Teilen der mathematischen Fachwelt dieser Beweis noch nicht anerkannt. Ende Zitat. Wie gesagt: Mir ist das auch ziemlich suspekt, weil schon ein Versuch auf Papier zeigt, daß es nicht nur 6 Berührungspunkte mit den nächsten Kugeln gibt, sondern 8. Aber egal -es ist (da stimmen ich mit Herbert überein) ziemlich gleichgültig für den Alltag. MfG Paul
Paul B. schrieb: > Wie gesagt: Mir ist das auch ziemlich suspekt, weil schon ein Versuch > auf Papier zeigt, daß es nicht nur 6 Berührungspunkte mit den nächsten > Kugeln gibt, sondern 8. Als Fan von Stragespielen erscheint mir das hexagonale Gitter plausibel. https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagon https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing Dass Yalu das Problem für Kugeln innerhalb kürzester Zeit selbständig gelöst hat, finde ich eindrucksvoll.
Mikro 7. schrieb: > Als Fan von Stragespielen erscheint mir das hexagonale Gitter plausibel. Ja, das ist EINE Ebene. Wenn ich aber eine dreidimensionale Struktur (Kiste) voll packen will, dann habe ich jeweils unter und über meiner Kugel weitere Kugeln der nächsten bzw. vorhergehenden Lage und somit 8 Berührungspunkte. MfG Paul
?? Wikipedia: "Eine dichteste Kugelpackung besteht aus hexagonalen Kugel-Schichten." Nochmal: Schichten! Paul B. schrieb: > Wie gesagt: Mir ist das auch ziemlich suspekt, weil schon ein Versuch > auf Papier zeigt, daß es nicht nur 6 Berührungspunkte mit den nächsten > Kugeln gibt, sondern 8. Paul B. schrieb: > Ja, das ist EINE Ebene. Wenn ich aber eine dreidimensionale Struktur > (Kiste) > voll packen will, dann habe ich jeweils unter und über meiner Kugel > weitere > Kugeln der nächsten bzw. vorhergehenden Lage und somit 8 > Berührungspunkte. Und das spricht jetzt gegen oder für die hexagonalen Kugel-Schichten?? (Bin mir nicht sicher was du zeigen oder widerlegen willst). Und wieso kann es nur 8 Berührungspunkte in 3-D geben?
>Und wieso kann es nur 8 Berührungspunkte in 3-D geben? "in der Ebene" sind es 6 drüber und drunter jeweils 3 in Summe müssten es also 12 sein.. (nicht 8) und zwar bei beiden arten? https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung#/media/File:DichtesteKugelpackung.svg
Mikro 7. schrieb: > Dass Yalu das Problem für Kugeln innerhalb kürzester Zeit selbständig > gelöst hat, finde ich eindrucksvoll. Sei nicht zu sehr beeindruckt :) Ich habe nur die Packungsdichte (π/(3√2)) berechnet unter der Annahme, dass die Kugeln wie hier beschrieben angeordnet sind: https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung#Struktur Dass diese Anordnung bei einer unendlichen Anzahl von Kugeln optimal ist, ist zwar plausibel, aber mathematisch nicht so leicht beweisbar. Bei der endlich großen Kiste wird die Packungsdichte von π/(3√2) natürlich nicht ganz erreicht. Da der Kugeldurchmesser von 1 cm aber klein im Vergleich zu Kantenlänge der Kiste (100 cm) ist, ist das immerhin eine gute Näherung für die tatsächliche Packungsdichte. Eine Abschätzung dieser Näherung: Man kann leicht sehen, dass mindestens 70·99² + 71·100² = 1396070 Kugeln in der Kiste Platz haben. Bei einer unendlich großen Kiste wären es 10⁶·√2 ≈ 1414214 Kugeln pro m³. Der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen beträgt weniger als 1,3%, so dass man mit dem idealen Wert der Packungsdichte nicht weit daneben liegt.
Paul B. schrieb: > Wie gesagt: Mir ist das auch ziemlich suspekt, weil schon ein Versuch > auf Papier zeigt, daß es nicht nur 6 Berührungspunkte mit den nächsten > Kugeln gibt, sondern 8. Dann hast du aber nicht die höchste Packungsdichte. In der ersten Ebene sind es 3 Kugeln, in der Darüberliegenden nochmals 3.
Christoph K. schrieb: > Sir Walter Raleigh wollte auf seinem Schiff Kanonenkugeln stapeln - > steht da als historische Erklärung zur Fragestellung. Also eine militärisch motivierte Problemstellung. Die dichteste Kugelpackung erlebt man gefühlt, wenn man von einer XM214 Microgun beschossen wird.
Yalu X. schrieb: > Man kann leicht sehen, dass mindestens 70·99² + 71·100² = 1396070 Kugeln > in der Kiste Platz haben. So leicht kann man das nicht sehen, wenn die Kiste insgesamt nur ein Volumen von 1Mio Kubikzentimeter hat... Man kann alles Mögliche mathematisch herbeizerren. Ob das dann auch in der Praxis zutrifft, steckt in einem anderen Würfel. MfG Paul
Paul B. schrieb: > Yalu X. schrieb: >> Man kann leicht sehen, dass mindestens 70·99² + 71·100² = 1396070 Kugeln >> in der Kiste Platz haben. > > So leicht kann man das nicht sehen, wenn die Kiste insgesamt nur ein > Volumen von 1Mio Kubikzentimeter hat... Und eine Kugel von 1 cm Durchmesser hat ein Volumen von π/6 cm³ ≈ 0,52 cm³. Rein volumenmäßig spricht also nichts dagegen, dass mehr als 10⁶ Kugeln in die Kiste passen. > Man kann alles Mögliche mathematisch herbeizerren. Ob das dann auch in > der Praxis zutrifft, steckt in einem anderen Würfel. Na dann lass die Praxis sprechen und probier's einfach aus: Bastel dir eine stabile, würfelförmige Kiste mit den Innenmaßen 1m × 1m × 1m. Falls dir das Schnitzen oder Drehen der 1396070 Kugeln zu aufwendig ist, kannst du sie in sehr guter Qualität auch fertig kaufen, bspw. hier: https://www.sturm-kugellager-shop.de/kugeln/stahl-kugeln-100cr6/716/stahlkugeln-rb-10-iii?number=RB-10-III-2000 (Nach Mengenrabatt fragen) Jetzt legst du den Boden der Kiste mit 100 Reihen zu je 100 Kugeln aus. Darüber kommt eine Lage aus 99 Reihen zu je 99 Kugeln, so dass jede dieser Kugeln 4 Kugeln der darunterliegenden Lage berührt. Die nächste Lage besteht wieder aus 100 × 100 Kugeln, dann kommt wieder eine mit 99 × 99 Kugeln. So fährst du fort, bis insgesamt 141 Lagen in der Kiste liegen und damit alle Kugeln aufgebraucht sind. Die oberste Lage ist eine mit 100 × 100 Kugeln. Dann schließt du den Deckel der Kiste und wirst erstaunt feststellen, dass die Kugeln nahezu spielfrei in der Kiste liegen. Sind die Kugeln und die Kiste präzise gearbeitet, verbleiben zwischen der obersten Lage und dem Deckel gerade einmal 0,05 mm, das ist die halbe Dicke eines Blatts Kopierpapier. Die große Frage ist jetzt natürlich, ob bei anderer Anordnung der Kugeln noch weitere Kugeln in die Kiste passen. Gefühlsmäßig würde ich sagen, nein. Aber mit Gefühlen sollte man bei solchen Ausgabenstellungen immer etwas vorsichtig sein.
Yalu X. schrieb: > Die nächste Lage besteht wieder aus 100 × 100 Kugeln, dann kommt wieder > eine mit 99 × 99 Kugeln. Und genau so geht das nicht.;-) Schhau nochmal in Wikipedia nach. Dreiecksanordnung in der Ebene, tetraederförmig im Raum ist die Lösung.
Paul B. schrieb: > Yalu X. schrieb: >> Man kann leicht sehen, dass mindestens 70·99² + 71·100² = 1396070 Kugeln >> in der Kiste Platz haben. > > So leicht kann man das nicht sehen, wenn die Kiste insgesamt nur ein > Volumen von 1Mio Kubikzentimeter hat... Fülle 100² Kugeln in kubischer Anordnung auf den Boden des Würfels. Dann eine zweite Lage mit 99² Kugeln in die Lücken, dann wieder 100², usw. 4 Kugeln von Lage #1 bilden mit 1 Kugel von Lage #2 eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche deran alle Kantenlängen 1 sind (ein halber Oktaeder). Die Pyramide hat also Höhe h=1/√2. n Lagen haben also eine Höhe von 1 + (n-1)/√2, und die größte natürliche Zahl n, für welche die Höhe <= 100 ist, ist n = [√2·(100-1)]+1 = 141. Man schafft so also 71 Lagen à 100² Kugeln und 70 Lagen à 99² Kugeln = 71·100²+70·99² = 1396070 Kugeln. Michael B. schrieb: > Yalu X. schrieb: >> Die nächste Lage besteht wieder aus 100 × 100 Kugeln, dann kommt wieder >> eine mit 99 × 99 Kugeln. > > Und genau so geht das nicht.;-) Im Endeffekt geht es wie von Yalu angedeutet: Die Anzahl Kugeln, die in die Kuste passen, wird niemand hier bestimmen können! Was wir angeben können sind Abschätzungen nach unten, indem eine explizite Anordnung angegeben wird. Es ist anzunehmen, dass die untere Abschätzung verbessert werden kann, indem man eine hexagonale Anordnung verwendet, die aber etwas schwieriger auszuformulieren ist; eine Hausaufgabe für dich :-) Was keinem hier gelingen wird, ist einen strengen, mathematischen Nachweis zu führen, dass eine gegebene Anordnung optimal ist. Selbst wenn es nicht gelingt, eine bessere Anordnung zu finden, so ist dies natürlich kein Beweis. Was ebenfalls schwierig ist, ist eine Abschätzung nach oben. Dividiert man das Volumen des Würfels 100³ durch das Volumen einer Kugel vom Radius 0.5, nämlich π/6, kommen wir auf eine Abschätzung nach oben von 1909859 Kugeln. Das Würfelvolumen durch das durch die hexagonal dichteste Kugelpackung gegebene Voronoi-Volumen zu dividieren liefert zwar mit 100³·√2 eine plausible Obergrenze von 1414213, mathematisch rigoros ist das aber keineswegs... Erstaunlicherweise ist das der gleiche Wert wie von Yalu, was Michaels Kritik gänzlich den Boden entzieht :-) Am einfachsten lässt sich das Problem lösen, wenn man statt der Euklidischen Norm die Maximumsnorm nimmt um eine Kugel zu definieren :o)
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Michael B. schrieb: > Yalu X. schrieb: >> Die nächste Lage besteht wieder aus 100 × 100 Kugeln, dann kommt wieder >> eine mit 99 × 99 Kugeln. > > Und genau so geht das nicht.;-) > Schhau nochmal in Wikipedia nach. Dreiecksanordnung in der Ebene, > tetraederförmig im Raum ist die Lösung. Auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussieht: Die von mir beschriebene Anordnung der Kugeln entspricht exakt der im Wikipedia- Artikel. Die hexagonalen Kugelschichten springen nur deswgen nicht sofort ins Auge, weil sie nicht horizontal liegen, sondern um den Winkel arccos(1/√3) ≈ 54,7° gegenüber der Horizontalen geneigt sind. Man könnte die Kugeln aber natürlich auch in horizontal liegenden hexagonalen Schichten anordnen. Dann passen 121 Lagen übereinander: Lage 1, 3, 5 ... 121: 115 Reihen mit abwechselnd 100 und 99 Kugeln Lage 2, 4, 6 ... 120: 114 Reihen mit abwechselnd 100 und 99 Kugeln Auf diese Weise können aber nur 61·(58·100 + 57·99) + 60·(57·100 + 57·99) = 1378603 Kugeln untergebracht werden.
Johann L. schrieb: > Am einfachsten lässt sich das Problem lösen, wenn man statt der > Euklidischen Norm die Maximumsnorm nimmt um eine Kugel zu definieren :o)
Schön formuliert :)
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Gut, ich sehe ein, daß ich auf die falsche Kugel gesetzt habe. Das geht mir in der Eisdiele meist ebenso. ;-) Frage an Yalu und Johann: Seid ihr Mathematiker? Solche Sachen habe ich von Euch ja schon mehrfach aus dem Handgelenk hergeleitet gesehen, deshalb frage ich. (Um gleich vorzubeugen: Nein, das ist keine Provokation -nur Interesse) MfG Paul
Paul B. schrieb: > Frage an Yalu und Johann: Seid ihr Mathematiker? Was mich betrifft: Ich kein studierter Mathematiker, aber um zu berechnen, wieviele Kugeln bei gegebener Anordnung in eine Kiste passen, reicht ja auch schon das, was man in der Schule bis zur 9. Klasse lernt (Rechnen mit Wurzeln, Satz des Pythagoras, Lösen einfacher Gleichungen).
Paul B. schrieb: > Frage an Yalu und Johann: Seid ihr Mathematiker? Paul B. schrieb: > (Um gleich vorzubeugen: Nein, das ist keine Provokation -nur Interesse) und ich dachte du dachtest an den Ballon Witz mit dem Mathematiker.
Yalu X. schrieb: > aber um zu > berechnen, wieviele Kugeln bei gegebener Anordnung in eine Kiste passen, > reicht ja auch schon das, was man in der Schule bis zur 9. Klasse lernt Ja, das ist richtig. Ich hätte anders fragen müssen, weil sowohl Du als auch Johann oft bei komplizierteren Sachen verhältnismäßig schnell Lösungen vorschlagt. MfG Paul
Yalu X. schrieb: > Michael B. schrieb: >> Yalu X. schrieb: >>> Die nächste Lage besteht wieder aus 100 × 100 Kugeln, dann kommt wieder >>> eine mit 99 × 99 Kugeln. >> >> Und genau so geht das nicht.;-) >> Schhau nochmal in Wikipedia nach. Dreiecksanordnung in der Ebene, >> tetraederförmig im Raum ist die Lösung. > > Auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussieht: Die von mir > beschriebene Anordnung der Kugeln entspricht exakt der im Wikipedia- > Artikel. > > Die hexagonalen Kugelschichten springen nur deswegen nicht sofort ins > Auge, weil sie nicht horizontal liegen, sondern um den Winkel > arccos(1/√3) ≈ 54,7° gegenüber der Horizontalen geneigt sind. Hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp) und kubisch-flächenzentrierte Packung (fcc) führen ja beide zur dichtesten Kugelpackung im R³, haben allerdings unterschiedliche Symmetrien. In der deutschen Wiki kommt das irgendwie nicht klar raus, und in Deutschland gibt es nicht nichteinmal das Trapez-Rhomben-Dodekaeder, Voronoi-Zelle von (hcp):
1 | "In the special case that the long sides of the trapezoids equals twice |
2 | the length of the short sides, the solid now represents the 3D Voronoi |
3 | cell of a sphere in a Hexagonal Close Packing (hcp)." |
https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezo-rhombic_dodecahedron während das symmetrischere Rhomben-Dodekaeder (im Gegensatz zu obigen 12-Flächner gehört es zu den Catalan'schen Körpern) die Voronoi-Zelle von (fcc) bildet:
1 | "It is the Voronoi diagram of the face-centered cubic sphere-packing, |
2 | which has the densest possible packing of equal spheres in ordinary space." |
https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_dodecahedral_honeycomb > Man könnte die Kugeln aber natürlich auch in horizontal liegenden > hexagonalen Schichten anordnen. Dann passen 121 Lagen übereinander: > > Lage 1, 3, 5 ... 121: 115 Reihen mit abwechselnd 100 und 99 Kugeln > Lage 2, 4, 6 ... 120: 114 Reihen mit abwechselnd 100 und 99 Kugeln > > Auf diese Weise können aber nur > > 61·(58·100 + 57·99) + 60·(57·100 + 57·99) = 1378603 > > Kugeln untergebracht werden. Köstlich! Mit Walter Lewins Worten: "Total breakdown of intuition!" ("Totalversagen der Intuition" bei einem Versuch zum Drehimpuls/Drehmoment bei einer Vorlesung zur Experimentalphsik) Yalu X. schrieb: > Dann schließt du den Deckel der Kiste und wirst erstaunt feststellen, > dass die Kugeln nahezu spielfrei in der Kiste liegen. Sind die Kugeln > und die Kiste präzise gearbeitet, verbleiben zwischen der obersten Lage > und dem Deckel gerade einmal 0,05 mm, das ist die halbe Dicke eines > Blatts Kopierpapier. Eine ziemlich erstaunliche Eigenschaft, dass die Kugeln in der kubischen (fcc) Anordnung so gut in die Kiste passen. Das ist für eine Kiste der Kantenlänge 100 der Fall; für Kantenlängen von z.B. 10, 1000, 10000 oder 100000 ist der Abstand zum Deckel viel größer! Keine Ahnung was der innere Grund dafür ist... Jedenfalls ist der 12. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von √2 gegeben durch
(Kettenbruchentwicklung von √2 ist periodisch mit √2=[1;2,2,2,...]) Bei der Berechnung der Lagen gemäß obiger Formel erhält man n = 1+[99·√2], und weil 99·√2 nur ca. 1/140 größer als 140 ist, führt das Abrunden auf 140 nur zu einen sehr kleinen Fehler. ...aber selbst wenn die Kiste minimal niedriger wäre und die obere Lage mit 100² Kugeln nicht mehr hineinpasste, bekäme man immer noch 7467 Kugeln mehr in die Kiste als nach Micheals "Und genau so geht das nicht" Vorschlag! Intuition ist schon was fieses :-)
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Hmm, mal kurz nachgedacht: Bei der Hexagonalen Packung geht das bei der ersten Schicht ja nicht genau aus. Da bleiben bei der letzten Reihe 2 mm Luft. Nun organisiert sich das ja selbst. Die einzelnen Reihen werden minimal ( 1,8 Hundertstel ) auseinandergedrückt. Die nächste Schicht sackt dadurch tiefer ein, usw. Da ist nichts mehr mit Tetraeder. Jetzt wird mir das zuviel:) Grüße Bernd
Also meine Rechnung sagt: Schicht 1 mit 100x 100 Kugeln = 10000 Schicht 2 mit 99x 99 Kugeln = 9801 Summe = 19801 Nun annähernd 60 Grad-mäßig gepackt: Schicht 1: 57Reihen mit 100 Kugeln = 5700 57 Reihen mit 99 Kugeln = 5643 Kugeln Schicht 2 ebenfalls mit 11343 Kugeln Summe = 22686 Kugeln. Sehe ich da was falsch? Grüße Bernd
Bernd F. schrieb: > Bei der Hexagonalen Packung geht das bei der ersten Schicht > ja nicht genau aus. Da bleiben bei der letzten Reihe 2 mm Luft. > > Nun organisiert sich das ja selbst. Die einzelnen Reihen > werden minimal ( 1,8 Hundertstel ) auseinandergedrückt. > Die nächste Schicht sackt dadurch tiefer ein, usw. > > Da ist nichts mehr mit Tetraeder. Tetraeder sind es immer noch, aber eben keine symmetrischen mehr: Anstatt √3/2 sind die Zeilen der 1. Ebene (und damit alle anderen) dann 99/114 voneinander entfernt. Die darauf basierenden Tetraeder haben anstatt der Höhe von √6/3 ≈ 0.8164965 des Standard-Tetraeders eine Höhe von h ≈ 0.81593055 was pro Lage ganze 0.000566 spart. Auf die 121 Lagen gewinnt das 0.068 zu den 0.249 Einheiten, die bei Standard-Tetraedern am oberen Rand der Kiste verbleiben. Lange Rede kurzer Sinn: Eine weiter Lage mit 57·199 Kugeln passt nicht mehr in die Kiste — und selbst wenn, wären die dann erreichten 1385386 immer noch 10684 weniger als in der 100²+99² Konfiguration...
Bernd F. schrieb: > Schicht 1 mit 100x 100 Kugeln = 10000 > Schicht 2 mit 99x 99 Kugeln = 9801 > Summe = 19801 > > Nun annähernd 60 Grad-mäßig gepackt: > Schicht 1: 57Reihen mit 100 Kugeln = 5700 > 57 Reihen mit 99 Kugeln = 5643 Kugeln > Schicht 2 ebenfalls mit 11343 Kugeln > Summe = 22686 Kugeln. > > Sehe ich da was falsch? Nö, aber hast was vergessen: In Layout #1 sind die Schichten 1/√2 voneinender entfernt (Höhe einer gleichseitigen, quadratischen Pyramide), in Layout #2 hingegen √6/3 (Höhe Einheits-Tetraeder). Das führt zu über 15.5% dickeren Schichten beim 2. Layout, pro Schicht hat #2 aber nur ca. 14.6% mehr Kugeln als #1. Wer gewinnt das Rennen?
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Johann L. schrieb: > Bernd F. schrieb: >> Schicht 1 mit 100x 100 Kugeln = 10000 >> Schicht 2 mit 99x 99 Kugeln = 9801 >> Summe = 19801 >> >> Nun annähernd 60 Grad-mäßig gepackt: >> Schicht 1: 57Reihen mit 100 Kugeln = 5700 >> 57 Reihen mit 99 Kugeln = 5643 Kugeln >> Schicht 2 ebenfalls mit 11343 Kugeln >> Summe = 22686 Kugeln. >> >> Sehe ich da was falsch? > > Nö, aber hast was vergessen: > > In Layout #1 sind die Schichten 1/√2 voneinender entfernt (Höhe einer > gleichseitigen, quadratischen Pyramide), in Layout #2 hingegen √6/3 > (Höhe Einheits-Tetraeder). Das führt zu über 15.5% dickeren Schichten > beim 2. Layout, pro Schicht hat #2 aber nur ca. 14.6% mehr Kugeln als > #1. > > Wer gewinnt das Rennen? Johann, sehr gut erklärt. Grüße Bernd
Jetzt stellt sich mir die Frage: Wenn ich eine Kiste mit einem Kubikmeter mit Stahlkugeln (Dm 1cm) beschütte, wie viel wird sie wohl wiegen?
Mani W. schrieb: > Jetzt stellt sich mir die Frage.... Mir stellt sich dagegen eine ganz ander Frage: Wenn jemand die Kiste umwirft -wie lange wird es fdauern, bis man alle Kugeln wiedergefunden hat? ;-) SCNR -Paul-
Paul B. schrieb: > Mir stellt sich dagegen eine ganz ander Frage: Wenn jemand die Kiste > umwirft -wie lange wird es fdauern, bis man alle Kugeln wiedergefunden > hat? Paul, mir stellt sich die Frage ,was ist "alle". Bis jetzt hat man nur theologisiert. Ein Beweis ist was anderes. Aber so wichtig ist der ja nicht , dass man damit jetzt anfangen müsste. Man dürfte sich ausreichend das Hirn gedehnt haben und sollte die Kirche im Dorf lassen. Jetzt eventuell noch eine kleine Lockerungsübung mit einer Tasse Kaffee und man kann wieder aufrecht in den Spiegel schauen...;-) Ich werde die Aufgabe mal das NASA schicken weil auf dem bemannten Flug zum Mars braucht man doch etwas Ablenkung vom Alltag...
Mani W. schrieb: > Wenn ich eine Kiste mit einem Kubikmeter mit Stahlkugeln (Dm 1cm) > beschütte, wie viel wird sie wohl wiegen? Die Kiste wiegt genauso viel wie vorher auch. Und das Gewicht des Inhalts der Kiste kannst du ganz einfach ausrechnen.
Johann L. schrieb: > Die Kiste wiegt genauso viel wie vorher auch. Aber nur mit Deckel. Ohne Deckel liegt der Schwerpunkt der Kiste unter dem Schwerpunkt der Füllung. Da nach Gewicht und nicht nach Masse gefragt war, reduziert sich das Gewicht um den Betrag, den der Boden aufgrund der Anziehungskraft der Kugeln nach Oben gezogen wird. Die unverschlossene Kiste wiegt also schonmal weniger nach dem Befüllen.
Johann L. schrieb: > Mani W. schrieb: >> Wenn ich eine Kiste mit einem Kubikmeter mit Stahlkugeln (Dm 1cm) >> beschütte, wie viel wird sie wohl wiegen? > > Die Kiste wiegt genauso viel wie vorher auch. Einzig richtige Antwort...
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