geometrisches Problem

[Christian M. (Gast)]

Hallo Foraner,

und wieder stehe ich an bei einem Problem, vor allem, weil ich's schon 
mal gelöst habe, aber vor Jahren! Ich will zwei Bretter so absägen, dass 
sie zueinanderpassen, aber:

-beide Bretter stehen fast aufrecht im Winkel von 80°
-am Boden stehen sie auch um 10° verdreht zur Flucht

Also ähnlich wie der Gratsparren beim Walmdach, als wäre die Hausecke 
170°, und die Dachneigung 80°. Das habe ich nämlich schon mal berechnet 
(http://chregu.magnetmotor.ch/romania_2009/09.08.2009%2010.54.jpg) aber 
die Pläne sind auf dem anderen Grundstück.

Genug der Prosa, anbei eine hoffentlich verständliche Skizze.

Meine Ueberlegungen bisher:

-wenn die Bretter am Boden lägen, würde an beiden 85° abgeschnitten
-wenn die Bretter genau senkrecht stünden, würde 90° abgeschnitten
-der endgültige Winkel wäre viel näher bei 90°, aber wieviel?
-wäre das Verhältnis der Sinus vom Neigungswinkel?

Danke und Gruss Chregu

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

du benötigst ein Hilfsdreieck wenn dieses nicht rechtwinklig ist musst 
du dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. dann allaes stufenweise 
berechnen.

Aus deinen Skizzen  und der Prosa werde ich nicht schlau.

versuche mal eine mit dem Problem nichtvertraute person zu fragen was 
sie da sieht.

Besser währe eine perspektivische Ansicht wie die vom Dach.

Namaste

[Teo D. (teoderix)]

Winfried J. schrieb:
> Aus deinen Skizzen  und der Prosa werde ich nicht schlau.

Vergiss die dämliche (sry) Skizze, das verlinkte Bild erklärt alles!

Leider get's mir wie dem TO. Gemacht öfter, alle ~10J und immer wieder 
neu schlau machen müssen, weil der Groschen einfach nich fallen will :)

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Die Winkel α und β seien nach deinen Vorgaben wie folgt definiert:

- beide Bretter stehen fast aufrecht im Winkel von α=80°
- am Boden stehen sie auch um β=10° verdreht zur Flucht

Gesucht ist der Winkel γ, in dem die Bretter abgesägt werden müssen.

Lösung:

$$\tan\gamma=\frac 1{\cos\alpha\cdot\tan\frac\beta 2}$$

Damit auch für α=90° (senkrecht stehende Bretter) nicht durch 0
dividiert werden muss:

$$\sin\gamma=\frac{\cos\frac\beta 2} {\sqrt{1-\sin^2\alpha\cdot\sin^2\frac\beta 2}}$$

Für α=80,00° und β=10,00° ist also γ=89,13°.

[Christian M. (Gast)]

Hallo Yalu,

Danke für die Lösung! Nachfollziehen kann ich sie momentan nicht. Aber 
so ein Grad hätte ich auch geschätzt... und ausprobiert!

Passt!

Gruss Chregu

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Christian M. schrieb:
> Nachfollziehen kann ich sie momentan nicht.

Ich bin leider daran gescheitert, eine perspektivische Skizze zu
zeichnen, in der auch jemand außer mir die wesentlichen Dinge erkennen
kann ;-)

Etwas leichter geht es, wenn man das ganze Gebilde so zerlegt und
auseinanderfaltet, dass alle Teile in der Ebene liegen.

Die graue Fläche ist der Grundriss des Dachs von oben betrachtet, die
roten Flächen bilden zusammen die rechte Dachhälfte. Die linke
Dachhälfte liegt symmetrisch zur rechten und ist nicht eingezeichnet.

Um das Dach (in Gedanken) aufzustellen, werden zunächst das grüne und
das rote Dreieck um die kurze Kathete des grünen Dreiecks senkrecht nach
oben geklappt. Dann wird das rote Dreieck um um seine lange Kathete nach
links geklappt, so seine kurze Kathete mit der kurzen Kathete des im
Grundriss liegenden grauen Dreiecks zusammenfällt (kleiner Pfeil).
Schließlich wird der rechteckige Teil des Dachs nach oben geklappt, so
dass seine kurze Seite mit der langen Kathete des roten Dreiecks
zusmamenfällt. Die beiden roten Flächen bilden nun zusammen das
trapezförmige Dach.

Nun zur Berechnung:

Die lange Kathete des grauen Dreiecks habe die Länge 1 (es geht hier nur
um relative Längenmaße). Mit den Winkelsätzen im rechtwinkligen Dreieck
kann nun seine kurze Kathete sowie die Hypothenuse des grünen Dreiecks
berechnet werden. Diese Längen bilden gleichzeitig die Katheten des
roten Dreiecks, so dass damit der gesuchte Winkel γ berechnet werden
kann.

Ich hoffe, dass das mindestens so klar hinübergekommen ist wie deine
ursprüngliche Problemstellung ;-)

[Route_66 H. (route_66)]

Yalu X. schrieb:
> Ich bin leider daran gescheitert, eine perspektivische Skizze zu
> zeichnen, in der auch jemand außer mir die wesentlichen Dinge erkennen
> kann ;-)

Stimmt!

Wenn ich die Beschreibung von 'chregu' richtig verstanden habe, dann 
will er eine Ecke eines Pyramidenstumpfes bauen, dessen Grundfläche ein 
36-Eck ist, und dessen Seitenflächen im Winkel von 80 Grad auf der 
Grundfläche stehen?

[Christian M. (Gast)]

Route 6. schrieb:
> Ecke eines Pyramidenstumpfes bauen, dessen Grundfläche ein
> 36-Eck ist, und dessen Seitenflächen im Winkel von 80 Grad auf der
> Grundfläche stehen?

Stimmt genau, danach hatte ich auch gesucht, aber die Online-Rechner 
brauchten alle mehr Daten, als ich hatte (Höhe...).

Gruss Chregu

[Route_66 H. (route_66)]

Christian M. schrieb:
> Stimmt genau, danach hatte ich auch gesucht,

Hallo!
Dann ist für Dich
Sägewinkel = arctan(tan(80) x sin(85)) = 79,96

(80 Grad ist die Neigung der Seitenfläche und 85 Grad der halbe Winkel 
der "Spitze")

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Ich hab's nun doch geschafft, das Ganze perspektivisch darzustellen,
nämlich mit GeoGebra, was ein geniales Tool für solche (und viele
andere) Aufgabenstellungen ist.

In dach2.png ist α=55° und β=70° (β'=β/2=35°), damit das Ganze besser
darstellbar ist. GeoGebra berechnet daraus γ=68,12°, was bei der Formel
in meinem vorletzten Beitrag übereinstimmt.

In dach3.png ist wie in der ursprünglichen Aufgabenstellungen α=80° und
β=10°. Auch hier liefern GeoGebra und die obige Formel dasselbe
Ergebnis, mämlich γ=89,13°.

[Route_66 H. (route_66)]

Yalu X. schrieb:
> In dach3.png ist wie in der ursprünglichen Aufgabenstellungen α=80° und
> β=10°. Auch hier liefern GeoGebra und die obige Formel dasselbe
> Ergebnis, mämlich γ=89,13°.

Stimmt - meine Formel ist zwar richtig, nur für den falschen Winkel!
Ich habe ausgerechnet, in welchem Winkel die "Spitze" gegenüber der 
Ebene geneigt ist.