Frage an unsere mathematischen Elektrotechniker bzgl. Pseudoinverse

[Benjamin Nels (Gast)]

Hallo Leute,

eine Frage für die Experten:

Ich habe eine Matrix M=[1 1 1 1;-1 -1 1 1; 1 -1 -1 1], also eine 4x3 
Matrix.

Mittels Matlab-Befehl pinv berechne ich die Pseudoinverse, das Ergebnis 
lautet:
Minv=[0.2500 -0.2500 0.2500; 0.2500 -0.2500 -0.2500; 0.2500 0.2500 
-0.2500; 0.2500 0.2500 0.2500].

Multipliziere ich nun die Matrix mit dem den Eingangsvektor x=[3;1;2;1], 
also eine 4x1 Matrix, erhalte y=M*x=[7;-1;1], also eine 3x1 Matrix.


Normalerweise müsste, sofern ich nun Minv*y berechne wieder x 
rauskommen, tatsächlich ist dies aber nicht der Fall. Ich für meine 
Untersuchung brauche aber wieder das korrekte x, also ist die Frage, wo 
der verdammte Fehler ist??

[Joe G. (feinmechaniker)]

Du hast keinen Fehler in deiner Rechnung aber einen in deiner 
Überlegung. Dein Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar und die 
Bildung der Moore-Penrose-Inverse gibt dir eine Näherungslösung nach der 
Methode der kleinsten Fehlerquadrate.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Benjamin Nels schrieb:
> Ich habe eine Matrix M=[1 1 1 1;-1 -1 1 1; 1 -1 -1 1], also eine 4x3
> Matrix.

Du meinst sicher eine 3×4-Matrix, also eine mit 3 Zeilen und 4 Spalten.
Das Gleichungssystem M·x=y besteht damit aus 3 Gleichungen und 4
Unbekannten, ist also unterbestimmt, was unendlich viele Lösungen
ergibt.

Die Pseudoinverse wird üblicherweise dazu genutzt, Näherungslösungen von
überbestimmten Gleichungssystemen zu finden. Wenn du sie auf dein
unterbestimmtes Gleichungssystem anwendest, erhältst du ebenfalls eine
Lösung. Diese ist sogar exakt (s. Berechnung von Joe), aber es ist eben
nur eine von unendlich vielen.

[Benjamin N. (ml6)]

Besten Dank für eure Antworten.

Also, das ist eine Näherungslösung, richtig. Aber das exakte Ergebnis 
ist doch x=[3;1;2;1]. Ist es denn nicht möglich, eine genauere Lösung zu 
erhalten?

Yalu X. schrieb:
> Du meinst sicher eine 3×4-Matrix, also eine mit 3 Zeilen und 4 Spalten.
> Das Gleichungssystem M·x=y besteht damit aus 3 Gleichungen und 4
> Unbekannten, ist also unterbestimmt, was unendlich viele Lösungen
> ergibt.

Ne, das ist ein überbestimmtes System. Ich habe 4 Eingänge und 3 
Ausgänge.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Benjamin N. schrieb:
> Ne, das ist ein überbestimmtes System. Ich habe 4 Eingänge und 3
> Ausgänge.

Dann habe ich deine Beschreibung des Problems falsch verstanden. Ich
dachte, es ginge um die folgende Gleichung, für die x bestimmt werden
soll:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot \mathbf x = \mathbf y\qquad\text{mit }\mathbf y=\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

x = ( 3  1  2  1 )ᵀ ist eine Lösung dieser Gleichung, die von Joe
gefundene x = ( 2,25  1,75  1,25  1,75 )ᵀ eine andere. Allgemein ist
x = ( 4-u  u  3-u  u )ᵀ für beliebiges u.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Benjamin N. schrieb:
> Ne, das ist ein überbestimmtes System. Ich habe 4 Eingänge und 3
> Ausgänge.

Dem ist doch in Yalus und meiner Rechnung so. Oder habe ich was 
übersehen? Im PDF nochmals ausführlich.