Zustandsraumdarstellung

[Tom (Gast)]

Hallo Leute!

Ich müsste ein System in Zustandsraumdarstellung bringen.

Das System ist nichtlinear und wird durch zwei Gleichungen dargestellt:

$$k_1\cdot \dot{x_2}+k_2\cdot x_2-k_3\cdot x_4^2\cdot tan(x_3)+k_3\cdot \dot{x_4}\cdot ln(x_3)-u=0$$

$$k_4\cdot \dot{x_4}+\dot{x_2}\cdot ln(x_3)+g\cdot tan(x_3)$$

Wobei der Zustandsvektor

$$\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \end{pmatrix}$$

 wäre.

Nun kann ich ein System mit nur einer Gleichung problemlos lösen, 
verzweifle aber daran, wie das mit zwei Gleichungen gehen soll.

Nehme ich nur eine Gleichung? Wenn ja welche?
Oder soll ich aus beiden Gleichungen eine machen, indem ich einsetze? 
Aber dann verschwindet eine Zustandsvariable.
Oder muss ich ein Verfahren anwenden, den ich vielleicht noch nicht 
kenne?

Ich hoffe, jemand kann mir den entscheidenden Hinweis geben!

Jetzt schon herzlichen Dank!

[Walter T. (nicolas)]

Über das Lösen von Gleichungsysstemen sind schon ganze Bücher 
geschrieben worden. "Gilbert Strang - Lineare Algebra" beschäftigt sich 
nur mit linearen Gleichungsystemen, hat 672 Seiten, und keine davon ist 
langweilig (wie der Autor auch schon im Vorwort korrekt ankündigt).

[Tom (Gast)]

Es geht hier nicht um das Lösen linearer Gleichungssysteme...


PS zu 1. Post: Bei der zweiten Gleichung gehört auch noch =0 am Ende...

[Walter T. (nicolas)]

Tom schrieb:
> Es geht hier nicht um das Lösen linearer Gleichungssysteme...

Doch, geht es. Zuerst wird das Residuum aus dem nichtlinearen 
Gleichungsystem abgeleitet, und anschließend das lineare Gleichungsystem 
(mehrfach) gelöst, bis die Lösung konvergiert.

[Tom (Gast)]

Wie meinst du das? Man bildet eine Gleichung aus den zweien? Nennt man 
das dann Residuum?

[Walter T. (nicolas)]

Das Problem ist, daß x_3 sowohl im ln() als auch im tan() vorkommt. 
Damit wird eine analytische Lösung, falls ich nichts übersehen habe, 
ziemlich schwierig (es sei denn, \dot{x}_2 = g).

Deswegen löst man solche Gleichungssystem für gewöhnlich numerisch, z.B. 
mit dem Newton-Verfahren. "Residuum" ist das nicht-gelöste 
Gleichungssystem, (ein Vektor mit den Gleichungen übereinander). Ist das 
Residuum Null, hat man die Lösung gefunden.

Aus welchem Bereich kommt diese Zustandsraumdarstellung?

[Tom (Gast)]

Das System möchte ich natürlich nummerisch lösen.

Mein Problem ist das überführen von ZWEI Gleichungen in EIN Residuum der 
Form

$$f(\vec{x}, u)=\dot{x}=\begin{pmatrix}... \\... \\... \\... \end{pmatrix}$$

damit ich dann mit der Software weitermachen kann.

Mit einer einzigen Gleichung wäre das auch gar kein Problem, aber mit 
zwei Gleichungen weiß ich leider nicht, wie das geht. Dazu bräuchte ich 
den entscheidenden Hinweis.

Die Gleichungen waren Angabe.

Danke!

[Walter T. (nicolas)]

Das Residuum ist eine vektorwertige Vektorfunktion, d.h. sowohl die 
Funktion als auch die Eingabewerte sind ein Vektor.

[Tom (Gast)]

Genau dieses Residuum bräuchte ich aus diesen Gleichungen. Mit welcher 
Methode kann ich diese bekommen?

Habe bereits soetwas berechnet, jedoch nur aus einer einzigen Gleichung.

[Walter T. (nicolas)]

Eine vektorwertige Vektorfunktion f(x) = 0 ist das Residuum.

$$\vec{f}(\vec{x}) = \begin{bmatrix}f_1(x_1, x_2) \\ f_2(x_1, x_2)\end{bmatrix}$$

[Tom (Gast)]

Und wie komme ich zu der?

[Walter T. (nicolas)]

Du schreibst in Deinem Fall alle vier Funktionen mit f(x)_i = 0 an 
unterschiedliche Plätze in denselben Vektor. Wenn Du nur zwei Funktionen 
hast, um vier Variablen zu bestimmen, fehlen zwei.

[Walter T. (nicolas)]

Ist jetzt u eine Zustandsvariable oder sind x_i die Zustandsvariablen?

[Tom (Gast)]

x_i sind die Zustandsvariablen.

U ist der Eingang des Systems.

Leider verstehe ich immer noch nicht, wie du’s meinst.

[aSma>> (Gast)]

Zunächst braucht man Hilfvariablen um diese ZRD aufstellen zu können.

dot x1 = x2
dot x2 = 1/k1 *(...)
dot x3 = x4
dot x4 = 1/k4 * (...)

Die Linearisierung in der Ruhelage kann man auch mittels 
Taylorreihenentwicklung durchführen.

[aölkdsjf (Gast)]

Entweder wie oben geschrieben. Das selbe System solltest du erhalten 
wenn du die zweite Gleichung auflöst nach:

$$\tan{x_{3}}=-\frac{k_{4}\cdot \dot{x}_{4}+\dot{x}_{2}\cdot \ln{x_{3}}}{g}$$

und diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzt:

$$k_1\cdot \dot{x_2}+k_2\cdot x_2+k_3\cdot x_4^2\cdot \frac{k_{4}\cdot \dot{x}_{4}+\dot{x}_{2}\cdot \ln{x_{3}}}{g}+k_3\cdot \dot{x_4}\cdot ln(x_3)-u=0$$

Dann hast du wieder ein System mit einer Gleichung.

[Tom (Gast)]

Danke für die Tipps, das werde ich ausprobieren!