Hi Leute. Ich möchte den Fehler (in Prozent) einer Linearität berechnen. Dazu habe eine Reihe von Quotienten, die annähernd (eben bis auf diesen Fehler) gleich sind und als Grundlage für die Berechnenung des Fehlers dienen sollen. Welchen Fehler berechnet man in einem solchen Fall, um die Abweichung der Linearität zu kennzeichnen? Wie sieht die Formel dazu aus? Gruß und Dankeschön Markus
Achim S. schrieb: > Als Stichwort vielleicht Lineare Regression? Die lineare Regressionsgerade hat eine Steigung und einen "y-Achsenabschnitt". Wie wird der Fehler dieser Steigung berechnet? Gruß und Dankeschön Markus
Deine Fitroutine müsste dir das sagen. Ist ein bisschen komplizierter von Hand zu machen. Aber jedes vernünftige Tool was Regressionen berechnet gibt dir auch die Kovarianzmatrix ... die Diagonalelemente dieser Matrix sind die Quadrate der Standardabweichungen auf die Fit-Parameter. Wenn die tatsächlich alle gleich sind brauchst du ja nur eine Konstante zu fitten, und dann ist das von Hand tatsächlich einfach: der Fehler ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert.
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Sven B. schrieb: > Deine Fitroutine müsste dir das sagen. Ist ein bisschen > komplizierter > von Hand zu machen. Aber jedes vernünftige Tool was Regressionen > berechnet gibt dir auch die Kovarianzmatrix ... die Diagonalelemente > dieser Matrix sind die Quadrate der Standardabweichungen auf die > Fit-Parameter. Stimmt, beispielsweise Origin, habe es gerade ausprobiert. Welches ist der entsprechende Fehler? Ist es der Fehler der Steigung? > Wenn die tatsächlich alle gleich sind brauchst du ja nur eine Konstante > zu fitten, und dann ist das von Hand tatsächlich einfach: der Fehler ist > die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert. Die sind nicht vollständig gleich, eine gewisse Abweichung gibt es. Gruß und Dankeschön Markus
Markus schrieb: > Die lineare Regressionsgerade hat eine Steigung und einen > "y-Achsenabschnitt". Wie wird der Fehler dieser Steigung berechnet? Die Berechnung der Varianz der Steigung findest du z.B. in der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Einfache_lineare_Regression#Varianzen_der_Regressionskoeffizienten
Markus schrieb: > Hi Leute. > > Ich möchte den Fehler (in Prozent) einer Linearität berechnen. Dazu habe > eine Reihe von Quotienten, die annähernd (eben bis auf diesen Fehler) > gleich sind und als Grundlage für die Berechnenung des Fehlers dienen > sollen. So kannst Du nicht regressieren. Voraussetzungen sind Paare, nicht Skalare (einfache Werte). Wenn Du das von Hand machst, minimierst Du ein Fehlermaß, indem Du die Steigung der Regressionsgeraden m und des Achsenabschnitts c variierst. Als Fehlermaß wird gern die quadrierte Abweichung zwischen den vorliegenden "y-Werten" und den regressierten y-Werten genommen. Beispiel: n=3 (3 Samples) Gegeben: (x1=-1,y1=-1) (x2=2,y2=4) (x3=3,y3=5) Es gilt yi'=m*xi+c Der Fehler ist dann "Summme von i=1 bis 3 über (yi-yi')^2" Du setzt die Formel yi'=m*xi+c in die Summenformel ein. In einer Tabellenkalkulation wie z.B. Excel kannst Du die Regression sowohl mit Hilfe der Analysefunktion (Regression) berechnen als auch über die Formulierung eines Minimierungsproblems im "Solver". Aus den Abweichungen zwischen den regressierten Werten und den realen Werten kannst Du dann den Linearitätsfehler berechnen.
Markus schrieb: > Sven B. schrieb: >> Deine Fitroutine müsste dir das sagen. Ist ein bisschen >> komplizierter >> von Hand zu machen. Aber jedes vernünftige Tool was Regressionen >> berechnet gibt dir auch die Kovarianzmatrix ... die Diagonalelemente >> dieser Matrix sind die Quadrate der Standardabweichungen auf die >> Fit-Parameter. > > Stimmt, beispielsweise Origin, habe es gerade ausprobiert. Welches ist > der entsprechende Fehler? Ist es der Fehler der Steigung? Wie gesagt, die Wurzeln der Elemente auf der Diagonalen sind in der Reihenfolge in der sie auftauchen die Fehler auf die einzelnen Parameter. Wenn du a*x+b fittest, mit Parametern a und b in dieser Reihenfolge, ist der zweite Eintrag der für die Steigung. >> Wenn die tatsächlich alle gleich sind brauchst du ja nur eine Konstante >> zu fitten, und dann ist das von Hand tatsächlich einfach: der Fehler ist >> die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert. > > Die sind nicht vollständig gleich, eine gewisse Abweichung gibt es. Die Frage ist ob sie im benutzen Modell alle gleich sind. ;)
Peter M. schrieb: > Markus schrieb: >> Hi Leute. >> >> Ich möchte den Fehler (in Prozent) einer Linearität berechnen. Dazu habe >> eine Reihe von Quotienten, die annähernd (eben bis auf diesen Fehler) >> gleich sind und als Grundlage für die Berechnenung des Fehlers dienen >> sollen. > > So kannst Du nicht regressieren. > Voraussetzungen sind Paare, nicht Skalare (einfache Werte). > > Wenn Du das von Hand machst, minimierst Du ein Fehlermaß, indem Du die > Steigung der Regressionsgeraden m und des Achsenabschnitts c variierst. > > Als Fehlermaß wird gern die quadrierte Abweichung zwischen den > vorliegenden "y-Werten" und den regressierten y-Werten genommen. > > Beispiel: > > n=3 (3 Samples) > > Gegeben: (x1=-1,y1=-1) (x2=2,y2=4) (x3=3,y3=5) > > Es gilt yi'=m*xi+c > > Der Fehler ist dann "Summme von i=1 bis 3 über (yi-yi')^2" > > Du setzt die Formel yi'=m*xi+c in die Summenformel ein. > > In einer Tabellenkalkulation wie z.B. Excel kannst Du die Regression > sowohl mit Hilfe der Analysefunktion (Regression) berechnen als auch > über die Formulierung eines Minimierungsproblems im "Solver". > > Aus den Abweichungen zwischen den regressierten Werten und den realen > Werten kannst Du dann den Linearitätsfehler berechnen. Vielen Dank. Kann mir Origin auch den Linearitätsfehler direkt anzeigen? Gruß und Dankeschön Markus
Markus schrieb: > Ich möchte den Fehler (in Prozent) einer Linearität berechnen. Hoffentlich bist Du gut in höherer Mathematik: https://de.wikipedia.org/wiki/Ausgleichungsrechnung Man kann zwar solche Kurven mit linearer Regression bearbeiten, die damit sich ergebende Standardabbwichzng in % ist aber nicht gleichbedeutend mit einem Fehler in %!
Harald W. schrieb: > Markus schrieb: > >> Ich möchte den Fehler (in Prozent) einer Linearität berechnen. > > Hoffentlich bist Du gut in höherer Mathematik: > https://de.wikipedia.org/wiki/Ausgleichungsrechnung > > Man kann zwar solche Kurven mit linearer Regression bearbeiten, > die damit sich ergebende Standardabbwichzng in % ist aber nicht > gleichbedeutend mit einem Fehler in %! Danke Harald. Wie kann ich den Linearitätsfehler mit Origin berechnen? Gruß und Dankeschön Markus
Markus schrieb: > Wie kann ich den Linearitätsfehler mit Origin berechnen? Da ich das Programm nicht kenne, kann ich Dir nicht weiter helfen. Das Problem ist, das es "den Linearitätsfehler" nicht gibt. Du musst Dir zuerst überlegen, welchen Fehler Du wissen willst und z.B. welchen Vertrauensbereich Du wünschst. https://de.wikipedia.org/wiki/Vertrauensbereich Fehlerberechnung ist eben nicht so einfach, wie viele glauben. Ich habe das meistens den promovierten Mathematikern im Nachbar- büro überlassen. Für private Zwecke reicht allerdings meist die lineare Regression und die Standardabweichung. Für gekrümmte Kurven braucht man aller- dings schon Regressionen höherer Ordnung. Für solche Berechnungen und dem Zeichnen entsprechender Kurven habe ich Excel benutzt
Hallo Markus! Markus schrieb: > Kann mir Origin auch den Linearitätsfehler direkt anzeigen? Ich kenne Origin nicht. Mach einfach ein Beispiel mit drei bis vier Stützstellen. Lass Dir von "Origin" die regressierte Parameter Steigung m und Achsenabschnitt c anzeigen. Dann rechnest Du für jede Stützstelle (xi/yi) den Wert yi'=m*xi+c aus. Die Differenz zwischen yi und yi' ist dann der Fehler. Dann kannst Du z.B. den größten absoluten Fehler ausrechnen. Eventuell willst Du den Fehler auch bezogen auf ein Messbereichsende ausdrücken. Dann skalierst Du (yi-yi') indem Du diese Differenz durch (xi/X) dividierst, wobei dann das Messbereichsende darstellt. Der dann skalierte größte Wert entspricht dann dem größten relativen Fehler. Die gefundenen Werte solltest Du dann irgendwo auch in Deiner Software wiederfinden.
Harald W. schrieb: > Für private Zwecke reicht allerdings meist die lineare Regression > und die Standardabweichung. Für gekrümmte Kurven braucht man aller- > dings schon Regressionen höherer Ordnung. Für solche Berechnungen > und dem Zeichnen entsprechender Kurven habe ich Excel benutzt Danke. Die Abweichung bei meiner besagten Messreihe ist sehr gering, dass heißt, die Messpunkte liegen fast alle auf der Regressionsgeraden. Also kann ich die Standardabweichung (die beispielsweise Origin berechnet hat) als "Linearitätsfehler" nehmen? Gruß und Dankeschön Markus
Markus schrieb: > Die Abweichung bei meiner besagten Messreihe ist sehr gering, dass > heißt, die Messpunkte liegen fast alle auf der Regressionsgeraden. > Also kann ich die Standardabweichung (die beispielsweise Origin > berechnet hat) als "Linearitätsfehler" nehmen? Das kommt darauf an, ob Du den absoluten oder relativen Fehler veranschlagen willst. Bei vielen messtechnischen Anwendungen ist es ja so, dass ein Fehler in den oberen Bereichen weniger Einfluss hat, weil er sich relativ abbildet. Das wird insbesondere dann interessant, wenn Linearisierungen durch den Nullpunkt gehen sollen, es aber nicht tun und gleichsam dort unten aber betrieben und gemessen wird. Dann sind Abweichungen unten sehr viel relevanter, als oben. Korrekturkennlinien sind daher in Sonderfällen sogar ein Kompromiss zwischen tatsächlicher Linearität und angepasstem Geradenverhalten, d.h. die Gerade liegt so, dass die Fehler unten klein sind und man lässt lieber oben mehr zu. Bei der Bewertung solcher Geraden wäre das dann geeignet zu berücksichtigen, also müsstest Du gfs deine Berechnung der Fehler vor der Summierung entsprechend gewichten.
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