Überschlägige Getriebeauslegung, Hertz'sche Pressung

[Werk H. (werkheimer)]

Hallo zusammen,

Vorsicht Mechanik. Ich versuch grade herauszufinden, ob es 
(näherungsweise) eine relativ simple Proportionalität zwischen 
Getriebegröße und Belastbarkeit gibt.

Angenommen ein einstufiges Stirnradgetriebe sei (ordnungsgemäß und nach 
allen Regeln der Kunst) für das Drehmoment X ausgelegt.

Nun werden beide Zahnräder genau doppelt so groß gemacht (bei gleicher 
Dicke). Der Einfachheit halber bleibt die Zähnezahl gleich.

Stimmt dann in erster Näherung (aus Zahnraddurchmesser und Hertz'scher 
Pressung) die Rechnung, dass das doppelt so große Getriebe 2 x Wurzel 2 
≈ 2,83 mal so hoch belastbar ist?

Rechner für Hertzsche Pressung:
https://www.johannes-strommer.com/rechner/hertzsche-pressung

(lt. dem Rechner nimmt die Hertz'sche Zylinderpressung bei einer 
Ver-X-Fachung der Abmessungen um Wurzel X ab)

--
Zum Mitdenken nochmal ausführlicher: wenn ein Zahnradpaar doppelt so 
groß gemacht wird, werden auch die Zähne und deren Krümmungsradien 
(Evolventen) alle doppelt so groß.

Angenähert lassen sich die Evolventen (Zahnoberflächen) der beiden 
Zahnräder als Zylinder betrachten.

Nun kommt der o.g. Rechner für die Hertzsche Pressung ins Spiel.

Rechnet man dort die Pressung für ein Zylinderpaar mit X mm Radius, und 
für ein weiteres Zylinderpaar mit dem doppelten Radius 2*X aus, stellt 
man fest, dass die Pressung bei dem doppelt so großen Zylinderpaar um 
den Faktor Wurzel 2 kleiner ist als bei dem kleineren Zylinderpaar.

Zusätzlich sind naturgemäß die Zahnraddurchmesser und dadurch die 
Hebelarme bei dem doppelt so großen Getriebe entsprechend doppelt so 
groß, und damit die Kräfte in der Verzahnung halb so groß (bei gleichem 
Drehmoment).

Folglich ergibt sich ein Gesamtfaktor von 2 (Hebelarm) mal Wurzel 2 
(Hertzsche Pressung), was das doppelt so große (und gleich dicke) 
Getriebe mehr aushält, also ca. Faktor 2,83.

Selbstverständlich ist dies nur die erste Näherung, sollte aber als 
grobe Abschätzung zu gebrauchen sein.

Danke für Meinungen zum Rechenweg!

[L. H. (holzkopf)]

Werk H. schrieb:
> Angenommen ein einstufiges Stirnradgetriebe sei (ordnungsgemäß und nach
> allen Regeln der Kunst) für das Drehmoment X ausgelegt.

Was aber auch beinhaltet, daß An- und Abtriebs-Welle für das Drehmom. X 
ausgelegt sind.
>
> Nun werden beide Zahnräder genau doppelt so groß gemacht (bei gleicher
> Dicke). Der Einfachheit halber bleibt die Zähnezahl gleich.
>
> Stimmt dann in erster Näherung (aus Zahnraddurchmesser und Hertz'scher
> Pressung) die Rechnung, dass das doppelt so große Getriebe 2 x Wurzel 2
> ≈ 2,83 mal so hoch belastbar ist?

Wenn Du dabei nicht auch die Wellen entspr. veränderst, dürfte diese 
erste Näherung eher nicht zutreffend sein.

Die Hertz'sche Pressung trifft sicher auch bei Zahnrädern bis zu einem 
gewissen Grad zu.
Aber was mir ein gewisses Unbehagen bereitet, ist, daß sie dominant ja
aus der Kontaktmechanik kommt.
Sieh Dir hier bitte mal an, wo überall sie Anwendungen findet:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kontaktmechanik

Zahnräder werden hier nicht genannt.

Mein Unbehagen kommt auch daher, daß Du so ohne weiteres eine 
Kraftübertragung per Zahnrädern mit der von Zylindern (paralleler 
Anordnung) vergleichst.

Erstere basiert auf Kraftübertragung per Hebeln, während Letztere 
dominant von der mehr oder weniger großen Verpressung der beiden 
Zylinder gegeneinander abhängt.
Bzw. eben von der nur unter diesen Bedingungen vorhandenen Reibung 
zwischen ihnen.

Das ist aber qualitativ etwas ganz anderes als wenn man einen Zahn 
"wegdrücken" muß, welcher einer Drehung "im Weg steht". ;)

Wenn Du Deine Näherung verifizieren können willst, kann ich Dir nur 
raten, das auch mit einer konkret möglichen Kraftübertragung per 
Zahnrädern zu vergleichen.

Grüße