Wer kann mir geeignete Literatur empfehlen?

[Erwin (Gast)]

Guten Abend zusammen,

ich suche gerade passende Literatur. Mir geht es um folgende Aussage:

"Zeigen Sie, dass die Delta Distribution das neutrale Element der 
Faltung ist."

Ich suche eine Erklärung dazu, wie man das mathematisch beweist. Kennt 
einer von euch ein Buch, wo das gut erklärt wird?

MfG

[FH-Prof (Gast)]

Erwin schrieb:
> ich suche gerade passende Literatur. Mir geht es um folgende Aussage:
>
> "Zeigen Sie, dass die Delta Distribution das neutrale Element der
> Faltung ist."
>
> Ich suche eine Erklärung dazu, wie man das mathematisch beweist. Kennt
> einer von euch ein Buch, wo das gut erklärt wird?

Im Prinzip benötigst du Literatur zu zwei Gebieten:

- lineare Algebra, um Gruppen, Körper etc. zu verstehen und damit 
wissen, was ein neutrales Element ist
- digitale Signalverarbeitung, um Faltung und Deltaimpuls 
kennenzulernen.

Je nachdem, in welchem Fach die Aufgabe gestellt wird, ist der Anspruch 
an einen Beweis evtl. sehr unterschiedlich. Ich versuch's mal intuitiv 
oder zumindest informell:

Für arithmetische Operationen wie Addition oder Multiplikation (a+b oder 
a*b) gibt es Zahlen b, für die die jeweilige Operation wieder den Wert a 
ergibt. Diesen Wert b nennt man das neutrale Element der Operation, also 
die Null für die Addition (a+0=a) und die 1 für die Multiplikation 
(a*1=a).

Die Faltung arbeitet jetzt nicht mit Zahlen, sondern mit Funktionen, die 
miteinander verknüpft werden. Das neutrale Element einer Verknüpfung (in 
dem Fall der Faltung) ist also eine Funktion, die den anderen Parameter 
der Verknüpfung (also die andere Funktion) unverändert lässt.

Die Delta-Distribution ist eine Funktion (über die ganzen Zahlen), die 
für die digitale Signalverarbeitung so definiert ist, dass

$$\delta[0]=1$$

 und

$$\delta[n]=0 \forall n \ne 0$$

Eine Faltung X (steht hier nicht für die Multiplikation!) ist definiert 
als Funktion, die eine Funktion mit einer anderen verknüpft, wobei hier 
die zweite Funktion eben Delta ist.

Sie ist definiert als:

$$(f X g)(n) = \sum_{i=0}^{n} f(i)*g(n-i) = f(0)*g(n) + f(1)*g(n-1) + ... + f(n)*g(0)$$

Damit kann man jetzt den Deltaimpuls für die Funktion g einsetzen:

$$(f X g)(n) = f(0)*\delta(n) + ... + f(n-1)*\delta(1) + f(n)*\delta(0) = f(0)*0 + ... + f(n-1)*0 + f(n)*1 = f(n)$$

Damit haben wir gezeigt, dass für eine beliebige Funktion f gilt:

$$(f X \delta)(n) = f(n)$$

Wie gesagt, alles sehr grob und informell (also bitte so nicht dem 
Matheprof vorlegen ;)) - aber die Grundidee kommt hoffentlich rüber.

[Wolfgang (Gast)]

FH-Prof schrieb:
> Die Delta-Distribution ist eine Funktion (über die ganzen Zahlen) ...

Hüstel ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Definition

[Tobias B. (Firma: www.elpra.de) (ttobsen)]

Literatur zum Thema "lineare Funktionalanalysis" sollte da eigentlich 
entsprechendes liefern. Je nach Vorkenntnisse kann es aber relativ 
schnell, relativ kompliziert werden.

[minifloat (Gast)]

Erwin schrieb:
> Delta Distribution das neutrale Element der Faltung

staun
Liegt es etwa daran, dass die delta-Distribution als ein infinitesimal 
kurzer Puls bei t=0 , dessen Integral gleich 1 ist, definiert ist?

[Dumdi D. (dumdidum)]

minifloat schrieb:
> Liegt es etwa daran, dass die delta-Distribution als ein infinitesimal
> kurzer Puls bei t=0 , dessen Integral gleich 1 ist, definiert

Das ist sie für alle nicht Mathematiker.

[Domenik (Gast)]

Prinzipiell kannst du einfach das Integral was entsteht ausrechnen, dann 
hast du den Beweis. Darin müsste eine FT hin und Rücktransformation 
enthalten sein. Sehr zu empfehlen ist Signale und Systeme vom Bossert.