Differential gleich Teiler?

[Claudius Prange (Gast)]

Ist

d f(x)
------
d x

oder dieses geschwungene d das gleiche wie

f(x)
----
x

also etwa für f(x) = x²

x²
--- = x
x

?

[Mike B. (mike_b97)]

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

[HildeK (Gast)]

Für f(x) = x² ist d f(x)/d x = 2x.
Also was anders!
Das eine ist die normale Division, das andere ist die Ableitung.
Siehe z.B. ein Mathebuch oder 
https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitungsfunktion

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Das d ist keine Variable, die man einfach wegkürzen kann, sondern ein
Operator. Im professionellen Formelsatz wird es aufrecht gesetzt (d), um
den Unterschied zu den kursiven Variablen (wie bspw. d) auszudrücken:

$$\begin{align*} \frac{dx^2}{dx}&=x\quad(d,x\in\mathbb R\setminus\{0\}) \\[2ex] \text{aber} \\[2ex] \frac{\mathrm dx^2}{\mathrm dx}&=2x\quad(x\in\mathbb R) \end{align*}$$

Da der visuelle Unterschied zwischen d und d nicht immer sofort ins
Auge springt, wird man in Texten mit Differential- und Integralrechnung
Variablen mit Namen d möglichst vermeiden.

[Marek N. (Gast)]

Warum gilt das nur im Reellen?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Marek N. schrieb:
> Warum gilt das nur im Reellen?

Es gilt auch im Reellen. Ich habe das hingeschrieben, um zu
verdeutlichen, dass es sich bei d und x um Variablen handelt.

[Claudius Prange (Gast)]

Wenn man ableitet, was will man normalerweise erreichen?

Ich erinnere mich, daß f''(x) der Wendepunkt eine Kurve ist. Das ist 
aber Kurvendiskussion.

Wenn ich eine Formel mit mehreren Größen, also etwa dem Wärmestrom habe, 
wie interpretiere ich da schnell, was hier eigentlich gemacht wird?

Wenn also ein d Irgendwas über irgendwas andere abgeleitet wird.

Kurz, wenn ich eine Gleichung mit d habe, während d der Hinweis auf ein 
Differential ist, wie kann ich schnell erkennen, was die Gleichung tut?

Beim Teiler ist es leicht: Wird das oben rechts größer, wird das oben 
links größer. Wird das oben rechts größer, wird das unten links kleiner.

Es sagt mir also etwas über Proportionalität. Wie ist das bei den 
Ableitungen?

Anders gesagt, wie kann ich mir bil

[Claudius Prange (Gast)]

"Anders gesagt, wie kann ich mir bil" streichen.

[Jan B. (do9jhb)]

Claudius Prange schrieb:
> Kurz, wenn ich eine Gleichung mit d habe, während d der Hinweis auf ein
> Differential ist, wie kann ich schnell erkennen, was die Gleichung tut?

Eine Ableitung an wie stark sich die abgeleitete Größe (an der Stelle x) 
ändert.

Klassisches Beispiel aus der Mechanik:
Stell dir eine Funktion

$$s(t)$$

 vor die angibt, wie weit ein Auto zum Zeitpunkt t bereits gefahren ist. 
Die Ableitung

$$s'(t)$$

 (oder ds/dt), gibt nun an wie "schnell" sich diese Strecke ändert, was 
genau der Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t enspricht (daher

$$v(t)=s'(t)$$

Wenn man es nochmal angibt erhält man eine Funktion die angibt, wie 
schnell sich die Geschwindigkeit ändert, daher die Beschleunigung.

[Weg mit dem Troll (Gast)]

Oh... da fehlt etwas viel an Mathematik..

Man kann Diffentialgleichungen aufstellen..

Die Loesung einer Differentialgleichtung ist jeweils eine Funktion, 
keine Zahl.

Deren Loesungen fallen dann in Kategorien, welche zu den gleichungen 
passen. Waermeleitungsgleichungen sind relativ einfach. Die Waerme 
bleibt erhalten.

Ohne Ingenieur-, Mathe- oder Physikstudium wird das wohl nichts.

[Claudius Prange (Gast)]

Weg mit dem Troll schrieb:
> Ohne Ingenieur-, Mathe- oder Physikstudium wird das wohl nichts.

Auch die müssen es sich vorstellen. Wenn du sowas schreibst, kannst du 
es einfach nicht erklären und hast es nicht verstanden.

[Theor (Gast)]

Es ist tatsächlich häufig knifflig eine Vorstellung davon zu bekommen, 
wie groß die Steigung an einer bestimmten Stelle quantitativ ist.
Denn der Ausdruck im Zähler gibt das nicht direkt an. Auch nicht der 
Ausdruck, der für das Differential steht. Der Zähler muss erst 
abgeleitet werden, damit man die korrekte Vorstellung bekommt.
Anders ausgedrückt: Dem Ausdruck im Nenner kannst Du das nicht ansehen - 
nicht ohne im Geiste die Ableitung zu bilden.

Allerdings ist das nur Übungssache und es gibt auch ein paar Ableitungen 
die immer wieder auftreten. Wie das berühmte (x^n)' = nx^(n-1) oder 
(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x) etcpp.
Ein Tabellenbuch leistet da gute Dienste - ich habe auch nicht alle im 
Kopf.

[M.A. S. (mse2)]

Weg mit dem Troll schrieb:
> Ohne Ingenieur-, Mathe- oder Physikstudium wird das wohl nichts.

Nun mal ganz ruhig. Mit dem (bisher) oben erwähnten bewegen wir uns (von 
der Schreibweise abgesehen) inhaltlich noch im Schulstoff der 
gymnasialen Oberstufe (Grundkursniveau!).


Marek N. schrieb:
> Warum gilt das nur im Reellen?
Erst hier verlassen wir das Schulniveau, um anzumerken:
Es gilt auch im Komplexen.

[Christoph db1uq K. (christoph_kessler)]

>dieses geschwungene d

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Partielle_Ableitungen

das hier?

[M.A. S. (mse2)]

Christoph db1uq K. schrieb:
>>dieses geschwungene d
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Partielle_Ableitungen
>
> das hier?

Ah! Wenn er das mit "geschwungenem d" meint, verlassen wir den 
Schulstoff natürlich doch: Partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer 
Veränderlicher...