Brauche Hilfe bei numerischer Integration

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo Leute,
ich brauche die numerischen Werte der beiden Integrale I1 und I2. Von 
Hand kann man die Dinger nicht wirklich berechnen. Leider bin ich bis 
jetzt auch mit Maxima und Wolfram Alpha gescheitert.

Kennt einer ein Tool oder einen Ansatz, mit welchem man die Integrale 
berechnen kann? am liebsten Wäre es mir in Matlab, aber auch damit habe 
ich es nicht fertig gebracht.

Meine aktuellen Werte für a und b sind a=0.66e-3 und b=3e-3. Aber ich 
würde die gerne später noch ändern können, also wäre es nützlich, das 
Verfahren zu kennen, mit dem das Berechnet werden kann.

[Egon D. (Gast)]

Tobias P. schrieb:

> Meine aktuellen Werte für a und b sind a=0.66e-3
> und b=3e-3. Aber ich würde die gerne später noch
> ändern können, also wäre es nützlich, das Verfahren
> zu kennen, mit dem das Berechnet werden kann.

Naja, soweit ich weiss, kann man fast alles numerisch
integrieren, was man punktweise berechnen kann.

Ich würde die Integrale erstmal auf Polstellen,
unendliche Integrationsgrenzen und solche Dinge
hin abklopfen, und wenn dabei keine Fallstricke
auftauchen, ganz hemdsärmelig mal mit der Romberg-
Integration spielen: Zunächst berechnet man überhaupt
mal Näherungswerte für das Integral mittels einer
summierten Integrationsregel (Trapez-, Simpson-),
und wenn da etwas plausibles herauskommt, kann man
sich mit der Extrapolation befassen.

[Pandur S. (jetztnicht)]

Nun ja. Irgendwie kommt mir sqrt(a^2 + b^2- 2ab cos(phi)) bekannt vor...

Irgendwie habe ich das Gefuehl man koenne es analytisch loesen.

Sinussatz ? Consinussatz ? Skalarprodukt ?

Nein ?

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Joggel E. schrieb:
> Irgendwie kommt mir sqrt(a^2 + b^2- 2ab cos(phi)) bekannt vor...

Ebener Kosinussatz.

[Egon D. (Gast)]

Frank M. schrieb:

> Joggel E. schrieb:
>> Irgendwie kommt mir sqrt(a^2 + b^2- 2ab cos(phi))
>> bekannt vor...
>
> Ebener Kosinussatz.

...aber doch nur, falls phi der Winkel zwischen p
und p' ist, oder?!

[Tobias P. (hubertus)]

Also phi geht von 0 bis pi, und rho' und rho gehen von a bis b.
Ich glaube nicht, dass man analytisch etwas machen kann, weil beim 
Integral 1 die Variable phi sowohl im Zähler als auch im Nenner unter 
der Wurzel vorkommt. Für mcih sieht das eher irgendwie elliptisch aus.

Komisch ist halt, dass alle mir bekannten Programme bei den beiden 
Integralen versagen. Aber ich habe die Integrale nicht selber 
aufgestellt, sondern sie sind aus einem Paper, und die Autoren 
behaupten, dass sie die Integrale numerisch ausgewertet hätten.

Hier der Link zum Dokument... leider mit Paywall, die meisten werden es 
also eh nicht anschauen können :-(

https://ieeexplore.ieee.org/document/36919

[Pandur S. (jetztnicht)]

Aha. Das paper nennt sich :
A study on the open-ended coaxial line method for measuring the 
permittivity of materials at microwave frequencies

Magere 5 Seiten mit 2 Seiten Tex und 3 Seiten Grafiken.

Ja, kann machen.
Es geht um eine Reihenentwicklung um diesen speziellen Anwendungsfall.

Kann man aber auch anders machen.

[Tobias P. (hubertus)]

Joggel E. schrieb:
> Magere 5 Seiten mit 2 Seiten Tex und 3 Seiten Grafiken.

ja es ist sehr mager. Leider sind andere nicht besser :-(

[Egon D. (Gast)]

Tobias P. schrieb:

> Also phi geht von 0 bis pi, und rho' und rho gehen
> von a bis b.

Ja, das geht aus den Integrationsgrenzen hervor.
Interessant wäre eher, ob phi, rho und rho' noch
irgendwie funktional voneinander abhängen, oder
ob sie als unabhängige Variablen aufzufassen sind.


> Ich glaube nicht, dass man analytisch etwas machen
> kann, weil beim Integral 1 die Variable phi sowohl
> im Zähler als auch im Nenner unter der Wurzel
> vorkommt.

Na, dann schau Dir mal an, wie man z.B. den Sinus
durch den Tangens ausdrückt...


> Komisch ist halt, dass alle mir bekannten Programme
> bei den beiden Integralen versagen. Aber ich habe die
> Integrale nicht selber aufgestellt, sondern sie sind
> aus einem Paper, und die Autoren behaupten, dass sie
> die Integrale numerisch ausgewertet hätten.

Ja, schön... was gefällt Dir an meiner ersten Antwort
nicht?
Punktweise auswerten wirdst Du den Integranden ja können,
oder?! Dann steht ja einer numerischen Integration nichts
mehr im Wege -- vorausgesetzt, Du kannst das Auftreten von
Polstellen im Intervall ausschließen.

[Mario H. (rf-messkopf)]

Tobias P. schrieb:
> Ich glaube nicht, dass man analytisch etwas machen kann, weil beim
> Integral 1 die Variable phi sowohl im Zähler als auch im Nenner unter
> der Wurzel vorkommt.

Die bekommt man aber relativ leicht weg. Ich schreibe der Einfachheit 
halber x und y für rho und rho', und für sqrt(.) und 1/sqrt(.) allgemein 
(.)^k (wähle dann k=+/-1/2). Dann gilt für das innere phi-Integral

$$\begin{align*} I_{\rm innen}(x,y)&=\int_0^\pi\cos\phi\bigl(x^2+y^2-2xy\cos\phi\bigr)^k\,\mathord{\rm d}\phi\\ &=\int_0^{\pi/2}\cos\phi\Bigl(x^2+y^2-2xy\sqrt{1-(\sin\phi)^2}\Bigr)^k\,\mathord{\rm d}\phi+\int_{\pi/2}^\pi\cos\phi\Bigl(x^2+y^2+2xy\sqrt{1-(\sin\phi)^2}\Bigr)^k\,\mathord{\rm d}\phi\\ &=\int_0^1\Bigl(x^2+y^2-2xy\sqrt{1-t^2}\Bigr)^k\,\mathord{\rm d}t-\int_0^1\Bigl(x^2+y^2+2xy\sqrt{1-t^2}\Bigr)^k\,\mathord{\rm d}t \end{align*}$$

Das sieht aber leider nur marginal besser aus. Müsste ich länger drüber 
nachdenken, ob man das irgendwie analytisch gelöst bekommt.

[Tobias P. (hubertus)]

Mario H. schrieb:
> Das sieht aber leider nur marginal besser aus. Müsste ich länger drüber
> nachdenken, ob man das irgendwie analytisch gelöst bekommt.

nein, es geht nicht. Ich habe auch noch weiter rum gesucht. In einem 
anderen Paper zum selben Thema taucht auch dieses Integral auf, und da 
schreiben die Autoren, dass es sehr schwierig ist, dieses zu berechnen, 
weil es eine Singularität drin hat (bei rho = rho' und phi = 0). Die 
Lösung müsse über eine Reihenentwicklung erfolgen.

Das verschweigen die Autoren des von mir verlinkten Papers aber, weil es 
viel krasser wirkt und man von ihren Fähigkeiten viel mehr beeindruckt 
ist, können sie doch solch komplizierte Integrale ohne Weiteres 
berechnen!

Immerhin habe ich es mit dem 2. Integral in Matlab nun geschafft. Es 
gibt tatsächlich einen Befehl "integral3", wie cool ist das denn!

mit dem ersten Integral habe ich es dann so gemacht, dass ich die untere 
Grenze für phi nicht bei 0, sondern bei 1 gesetzt habe. Dann habe ich 
diese Untergrenze in einer Schleife schrittweise halbiert und den 
Integralwert geplottet. Man sieht, dass es in der Tat konvergiert.


Brauchen tu ich die Integrale übrigens für die Berechnung einer 
Admittanz. Ich habe aus einer Semirigidleitung eine Sonde gemacht, die 
man in Flüssigkeiten taucht und mit dem NWA die Permittivität misst. Ich 
will die Sonde mit 3 bekannten Flüssigkeiten kalibrieren, aber klappt 
bis jetzt noch nicht.

[Mario H. (rf-messkopf)]

Tobias P. schrieb:
> nein, es geht nicht. Ich habe auch noch weiter rum gesucht. In einem
> anderen Paper zum selben Thema taucht auch dieses Integral auf, und da
> schreiben die Autoren, dass es sehr schwierig ist, dieses zu berechnen,
> weil es eine Singularität drin hat (bei rho = rho' und phi = 0). Die
> Lösung müsse über eine Reihenentwicklung erfolgen.

Ob es nicht geht, weiß ich nicht, aber wenn, wird es sehr kompliziert 
sein. Das Problem ist, dass in den beiden letzten Integralen in 
Beitrag "Re: Brauche Hilfe bei numerischer Integration" unter der Wurzel 
1-t² steht, und nicht 1-t, o.ä. Das kann man nicht vernünftig 
substituieren.

> Immerhin habe ich es mit dem 2. Integral in Matlab nun geschafft. Es
> gibt tatsächlich einen Befehl "integral3", wie cool ist das denn!

Ja, in Octave ist das triplequad. Es lohnt sich wohl nicht, dem Integral 
weiter analytisch oder mit einer Reihenentwicklung auf die Pelle rücken 
zu wollen.

[Tobias P. (hubertus)]

Mario H. schrieb:
> Ja, in Octave ist das triplequad. Es lohnt sich wohl nicht, dem Integral
> weiter analytisch oder mit einer Reihenentwicklung auf die Pelle rücken
> zu wollen.

ja, mit meiner Holzhammer-Approximation funktioniert das für mich 
vorerst genau genug. Habe bei der Messmethode sonst noch genug 
Baustellen :-)

[Pandur S. (jetztnicht)]

So, zur Dielektrizitaetskonstanten ... Es gibt da Diskrepanzen zwischen 
den Methoden. Allenfalls werden Literaturwerte auch eher salopp 
gemessen. Wenn man hat der Erste und Einzige ist..

Bei Wasser habe ich zB sehr grosse Abweichungen gemessen. In der Region 
von 2 anstelle von 12, gefroren. Wahrscheinlich eine Frage der 
Messmethode, also nicht alles glauben.

[Tobias P. (hubertus)]

Joggel E. schrieb:
> In der Region von 2 anstelle von 12, gefroren. Wahrscheinlich eine Frage
> der Messmethode, also nicht alles glauben

das glaube ich. Gefroren hat Wasser recht geringe Permittivität und 
Verluste. Ein er von 12 scheint mir da auch eher lustig.
Für flüssiges Wasser (entionisiert) gibt es aber sehr akkurate Modelle.