Gesamtimpulsantwort eines Systems bestimmen

[Dirk (Gast)]

Hallo,

aus dem System kann man entnehmen, dass bei der ersten Aufgabe h1(n) und 
h2(n) addiert werden sollen. Da ich aber keine anderen Aufgaben dieser 
Art finde und keine Lösung habe, frage ich mich, ob mein Ansatz richtig 
ist.

Nach dem addieren von h1(n) und h2(n) hätte ich z(n) = {2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 
2}. Kann man die Impulsantworten einfach so addieren oder muss man das 
auf irgendeine andere Weise machen?

Ich verstehe nur nicht, wie ich auf z(n) kommen soll, den Rest der 
Aufgabe verstehe ich. Danke für die Hilfe.

[Mario H. (Gast)]

Dirk schrieb:
> Ich verstehe nur nicht, wie ich auf z(n) kommen soll, den Rest der
> Aufgabe verstehe ich. Danke für die Hilfe.

Wenn man schreibt

$$\begin{align*} y_1(n)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)h_1(n-k),\\ y_2(n)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)h_2(n-k), \end{align*}$$

dann ist

$$z(n)=y_1(n)+y_2(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\bigl(h_1(n-k)+h_2(n-k)\bigr).$$

Also hat das System im gestrichelten Kasten welche Impulsantwort?

[Dirk (Gast)]

Hallo,

z(n) = {2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 2} müsste dann doch richtig sein, oder? Wenn ich 
die Übertragungsfunktionen der Impulsantworten ausschreibe und dann 
addiere komme ich ja auf die Übertragungsfunktion von z(n). Die 
Impulsantwort der Übertragungsfunktion von z(n) wär dann z(n) = {2 ; 3 ; 
3 ; 3 ; 2}.

[Markus (Gast)]

Schönen guten Abend Dirk!
Das ist absolut korrekt.

[Mario H. (Gast)]

Dirk schrieb:
> z(n) = {2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 2}

So solltest Du das nicht schreiben. Laut Deines Bildes war z(n) das 
Ausgangssignal des System im gestrichelten Kasten, und nicht dessen 
Impulsantwort. Diese ist, wie in 
Beitrag "Re: Gesamtimpulsantwort eines Systems bestimmen" gezeigt,

$$h(n) := h_1(n)+h_2(n),$$

und das ist mit den angegebenen Zahlen h = {2, 3, 3, 3, 2}. Damit kann 
man nun das Ausgangssignal z(n) mit der letzten in Formel in 
Beitrag "Re: Gesamtimpulsantwort eines Systems bestimmen" berechnen.

Außerdem gibt es in der Notation noch eine Uneindeutigkeit: In dem 
geposteten Bild steht z.B. h_1(n) = {1,2,1}. Bedeutet das nun

$$h_1(1)=1,\ h_1(2)=2,\ h_1(3)=1,\ \text{und}\ h_1(n)=0\ \text{für}\ n\neq1,2,3,$$

oder z.B.

$$h_1(0)=1,\ h_1(1)=2,\ h_1(2)=1,\ \text{und}\ h_1(n)=0\ \text{für}\ n\neq0,1,2?$$

Das muss natürlich festgelegt sein, um z(n) konkret berechnen zu können.

[Dirk (Gast)]

Mario H. schrieb:
> Dirk schrieb:
>> z(n) = {2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 2}
>
> So solltest Du das nicht schreiben. Laut Deines Bildes war z(n) das
> Ausgangssignal des System im gestrichelten Kasten, und nicht dessen
> Impulsantwort. Diese ist, wie in
> Beitrag "Re: Gesamtimpulsantwort eines Systems bestimmen"
> gezeigt,h(n):=h1(n)+h2(n),
> h(n) := h_1(n)+h_2(n),
> und das ist mit den angegebenen Zahlen h = {2, 3, 3, 3, 2}. Damit kann
> man nun das Ausgangssignal z(n) mit der letzten in Formel in
> Beitrag "Re: Gesamtimpulsantwort eines Systems bestimmen" berechnen.
>
> Außerdem gibt es in der Notation noch eine Uneindeutigkeit: In dem
> geposteten Bild steht z.B. h_1(n) = {1,2,1}. Bedeutet das nunh1(1)=1,
> h1(2)=2, h1(3)=1, und h1(n)=0 für n≠1,2,3,
> h_1(1)=1,\ h_1(2)=2,\ h_1(3)=1,\ \text{und}\ h_1(n)=0\ \text{für}\
> n\neq1,2,3,
> oder z.B.h1(0)=1, h1(1)=2, h1(2)=1, und h1(n)=0 für n≠0,1,2?
> h_1(0)=1,\ h_1(1)=2,\ h_1(2)=1,\ \text{und}\ h_1(n)=0\ \text{für}\
> n\neq0,1,2?
> Das muss natürlich festgelegt sein, um z(n) konkret berechnen zu können.

h1(0)=1, h1(1)=2, h1(2)=1, und h1(n)=0 für n≠0,1,2?

Ist richtig. Dann wär ja z.B. z(0) = x(0) * (1+1). Ich verstehe aber 
nicht, was die x(0) jetzt bedeuten soll. Die hab ich doch nicht, oder?

[Mario H. (Gast)]

Dirk schrieb:
> h1(0)=1, h1(1)=2, h1(2)=1, und h1(n)=0 für n≠0,1,2

In dem Fall ist dann

$$\begin{align*} &\;\vdots\\ z(0)&=h(0)x(0),\\ z(1)&=h(0)x(1)+h(1)x(0),\\ z(2)&=h(0)x(2)+h(1)x(1)+h(2)x(0),\\ z(3)&=h(0)x(3)+h(1)x(2)+h(2)x(1),\\ &\;\vdots \end{align*}$$

wenn x(n) = 0 für n < 0.

> Ich verstehe aber
> nicht, was die x(0) jetzt bedeuten soll. Die hab ich doch nicht, oder?

Das ist das Eingangssignal, mit dem das System beaufschlagt wird. Das 
kann natürlich beliebig vorgegeben werden, dessen Faltung mit der 
Impulsantwort liefert dann das Ausgangssignal z(n).

Um die Aufgabe auf dem Blatt zu lösen, braucht man kein konkretes 
Eingangssignal vorzugeben. Allerdings fragtest Du oben, wie man z(n) 
berechnet.

[Dirk (Gast)]

Achso, für die Aufgabe braucht man nicht das z(n), sondern nur die 
Impulsantwort an der Stelle? Und die ist dann h1(n) + h2(n) = {2 ; 3 ; 3 
; 3 ; 2}.

Dafür habe ich jetzt den Amplitudengang "3+6cos(ohm)+4cos(2ohm)" 
rausbekommen.

Für die Aufgabe b habe ich dann raus g(n) = {0 ; -3 ; -3 ; -3 ; -2}

Aber was wäre denn jetzt beim Fall, dass dort ein - statt ein + steht? 
Dann müsste ich ja entweder h1(n) - h2(n) oder h2(n) - h1(n) rechnen. 
Bei beiden würde etwas unteschiedliches rauskommen. Woher weiß ich, 
welche Impulsantwort ich von welcher subtrahieren muss?

[Helmut S. (helmuts)]

Es gibt 4 Möglichkeiten für ein -.
Wo soll ein - stehen?

[Dirk (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Es gibt 4 Möglichkeiten für ein -.
> Wo soll ein - stehen?

Anstelle des ersten + Zeichens (links von z(n))

[Helmut S. (helmuts)]

Die Gesamtfunktion soll 2 ergeben.
Da müsste doch g(n) = 0 -1.5 -1.5 -1.5 -1 sein.

[Helmut S. (helmuts)]

Dirk schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> Es gibt 4 Möglichkeiten für ein -.
>> Wo soll ein - stehen?
>
> Anstelle des ersten + Zeichens (links von z(n))

Dann subtrahierts du halt die Filterkoeffizienten der zwei Filter.

[Dirk (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Dirk schrieb:
>> Helmut S. schrieb:
>>> Es gibt 4 Möglichkeiten für ein -.
>>> Wo soll ein - stehen?
>>
>> Anstelle des ersten + Zeichens (links von z(n))
>
> Dann subtrahierts du halt die Filterkoeffizienten der zwei Filter.

Ja aber ich kann dann ja entweder h1(n) - h2(n) rechnen oder h2(n) - 
h1(n). Bei beiden kommt ja etwas unterschiedliches raus.

[Dirk (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Die Gesamtfunktion soll 2 ergeben.
> Da müsste doch g(n) = 0 -1.5 -1.5 -1.5 -1 sein.

Aber h(n) ist ja {2, 3, 3, 3, 2}. g(n) + h(n) soll {2} ergeben. Heißt 
das nicht, dass ich g(n) = {0 ; -3 ; -3 ; -3 ; -2} nehmen muss, damit 
die anderen stellen zu 0 werden? Wie kommst du denn auf g(n) = 0 -1.5 
-1.5 -1.5 -1 ?

[Helmut S. (helmuts)]

In den Filterstrukturen kommt nur a1, a2, a3, .... in der Rückkopplung 
vor. Das a0=1 hast du automatisch durch die Rückkopplung.

[Dirk (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> In den Filterstrukturen kommt nur a1, a2, a3, .... in der
> Rückkopplung
> vor. Das a0=1 hast du automatisch durch die Rückkopplung.

Verstehe nicht, was damit gemeint ist. Ist die Gesamtantwort nicht 
(h1(n)+h2(n)) + g(n)?

[Helmut S. (helmuts)]

Dirk schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> In den Filterstrukturen kommt nur a1, a2, a3, .... in der
>> Rückkopplung
>> vor. Das a0=1 hast du automatisch durch die Rückkopplung.
>
> Verstehe nicht, was damit gemeint ist. Ist die Gesamtantwort nicht
> (h1(n)+h2(n)) + g(n)?

H(z) = (H1(z)+H2(z))/(1 - G(z))

Gesucht: G(z) für H(z)=2

[Dirk (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> H(z) = (H1(z)+H2(z))/(1 - G(z))

Wie kommt man auf die Formel? Laut Bild müsste man ja addieren und nicht 
dividieren. Und wie kommt man auf 1 - G(z) statt nur G(z) ?

[Mario H. (Gast)]

Dirk schrieb:
> Dafür habe ich jetzt den Amplitudengang "3+6cos(ohm)+4cos(2ohm)"
> rausbekommen.

Das Ω ist kein Ohm. Und für die Übertragungsfunktion zu gegebener 
Impulsantwort h gilt

$$H(z)=\mathcal Z(h)(z),$$

wobei das kalligrafische Z die Z-Transformation ist, also

$$H(\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\Omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\mathord{\rm e}^{-\mathord{\rm i}k\Omega},$$

und für den Amplitudengang gilt dann

$$\lvert H(\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm i}\Omega})\rvert=\Bigl\lvert\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\mathord{\rm e}^{-\mathord{\rm i}k\Omega}\Bigr\rvert.$$

Da passt also etwas nicht.

> Wie kommt man auf die Formel? Laut Bild müsste man ja addieren und nicht
> dividieren. Und wie kommt man auf 1 - G(z) statt nur G(z) ?

Da ist eine Rückkopplung. Die Übertragungsfunktion des Teils außerhalb 
des gestrichelten Kastens ist G/(1-G). Schau Dir mal ein wenig die 
Grundlagen an und versuche, das herzuleiten. Für das Gesamtsystem gilt 
dann (H1+H1)G/(1-G).

[Lotta . (mercedes)]

Absolut häsig!

@Mario,
Wie bekommst Du die Formeln so gut ins Board?
Zb. mit Latex erstellen ist klar, aber dann?


mfg

[Mario H. (Gast)]

~Mercedes~  . schrieb:
> Absolut häsig!

Was? :)

> Wie bekommst Du die Formeln so gut ins Board?

Na ja, ich schreibe sie einfach hin. Ich weiß nicht, wie viele tausend 
Seiten mit deutlich komplexeren Formeln ich schon mit LaTeX geschrieben 
habe. Wird irgendwann Routine.

[Lotta . (mercedes)]

Mario meinte:

> Na ja, ich schreibe sie einfach hin. Ich weiß nicht, wie viele tausend
> Seiten mit deutlich komplexeren Formeln ich schon mit LaTeX geschrieben
> habe. Wird irgendwann Routine.

Wie bekommst Du sie ins Forum?
Wenn ich jetz schreib

R = U / I

sieht das aber ganz anders aus! ;-P

Koierst du die dann ganz einfach von Latex hier ins Board?
Übernimmt das Board dann die Fornmatierung?


mfg

[Mario H. (Gast)]

~Mercedes~  . schrieb:
> Wie bekommst Du sie ins Forum?

Das geht mit

[math]Formel in LaTeX-Syntax[/math].

Siehe auch

https://www.mikrocontroller.net/articles/Formatierung_im_Forum

Leider funktionieren nur freigestellte Formeln. Formeln im Text gehen 
nicht, auch wenn MathJax das könnte.

[Dirk (Gast)]

Mario H. schrieb:
> Dirk schrieb:
>> Dafür habe ich jetzt den Amplitudengang "3+6cos(ohm)+4cos(2ohm)"
>> rausbekommen.
>
> Das Ω ist kein Ohm. Und für die Übertragungsfunktion zu gegebener
> Impulsantwort h giltH(z)=Z(h)(z),
> H(z)=\mathcal Z(h)(z),
> wobei das kalligrafische Z die Z-Transformation ist,
> alsoH(eiΩ)=∑k=−∞+∞h(k)e−ikΩ,
> H(\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm
> i}\Omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\mathord{\rm e}^{-\mathord{\rm
> i}k\Omega},
> und für den Amplitudengang gilt dann|H(eiΩ)|=∣∣∑k=−∞+∞h(k)e−ikΩ∣∣.
> \lvert H(\mathord{\rm e}^{\mathord{\rm
> i}\Omega})\rvert=\Bigl\lvert\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\mathord{\rm
> e}^{-\mathord{\rm i}k\Omega}\Bigr\rvert.
> Da passt also etwas nicht.
>
>> Wie kommt man auf die Formel? Laut Bild müsste man ja addieren und nicht
>> dividieren. Und wie kommt man auf 1 - G(z) statt nur G(z) ?
>
> Da ist eine Rückkopplung. Die Übertragungsfunktion des Teils außerhalb
> des gestrichelten Kastens ist G/(1-G). Schau Dir mal ein wenig die
> Grundlagen an und versuche, das herzuleiten. Für das Gesamtsystem gilt
> dann (H1+H1)G/(1-G).

Hab mir nochmal die Mit- und Gegenkopplung angesehen und komme auf die 
gleiche Formel
(h1(n)+h2(n))*g(n)/(1-g(n))
kriege aber nach dem umformen nichts vernünftiges für g(n) raus
g(n) = 2 / (2-(h1(n)+h2(n))

[Dirk (Gast)]

Es wäre nett, wenn mir jemand die Lösung der beiden Aufgaben verraten 
könnte, damit ich versuchen kann diese nachzuvollziehen und einen Ansatz 
für ähnliche Aufgaben habe.

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

Dirk schrieb:
> Hab mir nochmal die Mit- und Gegenkopplung angesehen und komme auf die
> gleiche Formel
> (h1(n)+h2(n))*g(n)/(1-g(n))

Das ist nicht die gleiche Formel. Das ist die Formel:
Helmut S. schrieb:
> H(z) = (H1(z)+H2(z))/(1 - G(z))

Dirk schrieb:
> kriege aber nach dem umformen nichts vernünftiges für g(n) raus
> g(n) = 2 / (2-(h1(n)+h2(n))
Sowas passiert, wenn man zu unvorsichtig zwischen einzelnen Samples im 
Zeitbereich h(n) und Frequenzgang/Bildbereich H(z) hin und her huepft.

Gruss
WK

[Dirk (Gast)]

Danke für die Hilfe. Sind die Ergebnisse jetzt so richtig?

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

Waere ich der waere, der den Kram von dir bewerten muesste, wuerde ich 
mich an sowas schon etwas reiben:
G(z)={0,-1.5,-1.5,-1.5,-1}

Denn es ist natuerlich:

G(z)= -1.5*z^(-1) -1.5*z^(-2) -1.5*z^(-3) -z(^-4)

(und dieses Dingens hat die Impulsantwort {0,-1.5,-1.5,-1.5,-1} )
und da weiss ich nicht, ob dir das klar ist.

Gruss
WK

[Dirk (Gast)]

Dergute W. schrieb:
> Moin,
>
> Waere ich der waere, der den Kram von dir bewerten muesste, wuerde ich
> mich an sowas schon etwas reiben:
> G(z)={0,-1.5,-1.5,-1.5,-1}
>
> Denn es ist natuerlich:G(z)= -1.5*z^(-1) -1.5*z^(-2) -1.5*z^(-3)
> -z(^-4)(und dieses Dingens hat die Impulsantwort {0,-1.5,-1.5,-1.5,-1} )
> und da weiss ich nicht, ob dir das klar ist.
>
> Gruss
> WK

Stimmt, danke dir. Werde mir das Thema nochmal genauer ansehen.

[Dirk (Gast)]

Hab jetzt mal versucht eine ähnliche Aufgabe nach dem gleichen Schema zu 
lösen. Ist das so richtig?

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

a.) Ist klar, wenn in der Aufgabenstellung die Impulsantwort locker in 
eine Zeile passt... :-)
Es ist ein Tiefpass, und hat auch noch (achsen)symmetrische 
Koeffizienten, d.h. die Gruppenlaufzeit ist konstant. Was einem manchmal 
nutzen kann.

b.) Wenn das bei euch so gemalt wird. Persoenlich hab' ich lieber so 
Kringel mit 'nem Plus drinnen und ggf. Minus draussen, und Dreiecke fuer 
Multiplikationen mit Konstanten und Rechtecke/Quadrate mit einem z^(-1) 
drinnen fuer die Speicher.

c.) Weiss nicht,was eine Standard-Differenzen-Gleichung ist, wenns das 
ist was da steht, wirds schon passen.

e-g) Mir fehlt da ueberall das "D" - das muesste da ja drinnen 
vorkommen. Oder ist das bei euch sowas wie das Kaestchen mit z^(-1) 
drinnen? Ich haett' D jetzt halt als irgendeine Uebertragungsfunktion 
D(z) aufgefasst und weiter verwurstet.

Gruss
WK

[Dirk (Gast)]

Dergute W. schrieb:
> e-g) Mir fehlt da ueberall das "D" - das muesste da ja drinnen
> vorkommen. Oder ist das bei euch sowas wie das Kaestchen mit z^(-1)
> drinnen? Ich haett' D jetzt halt als irgendeine Uebertragungsfunktion
> D(z) aufgefasst und weiter verwurstet.
>
> Gruss
> WK

Das D habe ich in der Klammer drin. Habs so verstanden, dass es ohne 
Delay h(z) wär und mit Delay ist es dann halt h(z-1). Hab dann die Werte 
um 1 nach rechts verschoben. Also aus h(z) = 1+ 2*z^-1 + z^-2 wird dann 
durch das D h(z-1) = 0 + z^-1 + 2*z^-2 + z^-3