Schwerpunktperechnung eines Halbkreisrings mittels Doppelintegral

[Bartosz B. (bartosz)]

Hallo,

meine Frage ist, ob diese Vorgehensweise richtig ist.

Worum geht es

Ich habe einen Halbkreisring mit den Radien 190mm und 185 mm. Ich möchte 
davon die y-Koordinate des Schwerpunkts ermiteln.

$$x_S$$

 ist aus Symmetriegründen bei x = 0.

Meine Lösung

Ich berechne

$$y_S$$

 mit einem Doppelintegral und mit Polarkoordinaten. Zum Schluss muss man 
mit

$$\frac{1}{A}$$

multiplizieren, mit

$$A = \frac{π*r^2}{2}$$

.
Ich habe jetzt für r einfach die Mitte genommen, also 187,5. Daher ist 
mein yS bei 91,82 mm, und somit leicht unter der Hälfte, was schon mal 
gut aussieht. War es korrekt, 187,5 zu nutzen?

[Dieter H. (kyblord)]

Hallo Bartosz,


deine Berechnung stimmt nicht ganz. Der Flächeninhalt des Kreisringes 
stimmt so nicht. Du musst ja nur 2 Kreise von einander abziehen 
A=pi*r2^2 - pi*r1^2

[Manfred L. (egonotto)]

Hallo,

beim Berechnen des Doppelintegral hast Du schon einen Fehler. Schau Dir 
noch mal an, wie man ein Integral berechnet, wenn man eine Stammfunktion 
hat. (Stichwort (F(obere Grenze) - F(untere Grenze))).

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, wird das Ergebnis wie in 
schwerpunkt.jpg sein.

MfG
egonotto

[Dieter H. (kyblord)]

Das Integral ist schon richtig berechnet. Die obige Formel stimmt.

[Manfred L. (egonotto)]

Hallo,

nein, kann schon nicht stimmen, weil das Ergebnis des Integrals eine 
Zahl ist. Auf der rechten Seite ist aber noch eine Variable.

MfG
egonotto

[Egon D. (Gast)]

Manfred L. schrieb:

> nein, kann schon nicht stimmen, weil das Ergebnis
> des Integrals eine Zahl ist.

Dochdoch...


> Auf der rechten Seite ist aber noch eine Variable.

Schau mal auf die nächste Zeile. Da steht es korrekt.

Bartosz ist von legendärer Schlampigkeit, was die
Notation angeht. Mein alter Mathelehrer -- Gott hab
ihn selig -- hätte ihn aus dem Klassenzimmer geworfen.

[A. S. (rava)]

Anderer Weg zur Kontrolle:

Halbkreisfläche:
A(r) = r²*pi / 2
Halbkreisschwerpunkt:
p(r) = (0, 2r/pi)
(siehe 
https://www.wolframalpha.com/input/?i=center+of+mass+of+a+semicircle)

Schwerpunkt des Rings:

p = A(r=190)*p(r=190) - A(r=185)*p(r=185) / (A(r=190) - A(r=185))

p_x = 0
p_y = ?
Zähler: 190²*pi/2*2*190/pi - 185²*pi/2*2*185/pi = 190³-185³ = 527375
Nenner: A(r=190) - A(r=185) = 1875 * pi/2
p_y = Zähler/Nenner = 179,06

glaub ich.

[Egon D. (Gast)]

A. S. schrieb:

> (siehe
> https://www.wolframalpha.com/input/?i=center+of+mass+of+a+semicircle)

Herrje.
Wird denn jeder Mist erst dann wahr, wenn der Computer es
sagt?
Gleich kommt einer und "beweist" das Ergebnis mit LTSpice...

[A. S. (rava)]

Zimelich schwacher Kommentar von deiner Seite. Nur keine Angst vor der 
Technik.

Aber hab gerne Angst vor dem Nutzer! Mein Ergebnis ist nämlich falsch. 
Und zwar, weil 2r/pi der Schwerpunkt eines anderen Gebildes ist. Nämlich 
welches?

[Bartosz B. (bartosz)]

Egon D. schrieb:

> Schau mal auf die nächste Zeile. Da steht es korrekt.
>
> Bartosz ist von legendärer Schlampigkeit, was die
> Notation angeht. Mein alter Mathelehrer -- Gott hab
> ihn selig -- hätte ihn aus dem Klassenzimmer geworfen.

Ich habe mir Doppelintegrale 5 Jahre nicht angeschaut. Aber ich habe 
gedacht, ihr werdet es verstehen, wenn ich nicht jede Kleinigkeit 
hinschreibe. Aber Recht haste, ich schreibe dazu „in den Grenzen von .. 
bis ..“ 🙂

Die y-Koordinate des Schwerpunktes muss knapp unter der halben Höhe 
sein.

[Egon D. (Gast)]

A. S. schrieb:

> Zimelich schwacher Kommentar von deiner Seite.

Ich sage, was ich denke -- und nicht, was mir
Sympathiepunkte bringt.


> Nur keine Angst vor der Technik.

Ich habe keine Angst vor der Technik -- ich habe
Angst vor Leuten, die Verständnis und Beherrschung
der Mathematik durch Herumtippen auf einer Tastatur
ersetzen.

[Egon D. (Gast)]

Bartosz B. schrieb:

> Ich habe mir Doppelintegrale 5 Jahre nicht angeschaut.

Bei mir sind es eher 25...


> Aber ich habe gedacht, ihr werdet es verstehen, wenn
> ich nicht jede Kleinigkeit hinschreibe. Aber Recht
> haste, ich schreibe dazu „in den Grenzen von .. bis ..“

Ich habe nicht nur das gemeint.

Ich kenne das so, dass man erstmal das komplette Modell
formelmäßig hinschreibt, alles umformt und einsetzt und
erst ganz am Schluss Zahlen einsetzt.

Wahrscheinlich würde dann eher auffallen, dass
Deine Rechnerei mit der Fläche so nicht stimmt. Die
einzusetzende Fläche ist nämlich die des halben
Kreisringes, nicht die des (mittleren) Halbkreises.

Das gibt dann den Term r2^2 - r1^2 im Nenner, so wie
es bei egonotto steht.


> Die y-Koordinate des Schwerpunktes muss knapp unter
> der halben Höhe sein.

Nee, sie muss über der halben Höhe sein.

In der Nähe des Maximums läuft das schmale Band fast
waagerecht, und es ist ziemlich viel "Masse" bei etwa
derselben Höhe konzentriert. Dagegen läuft das Band
an den Seiten fast senkrecht; die Masse verteilt sich
viel gleichmäßiger über die "Hebellänge". Der
"Hebelarm" an den Seiten muss daher länger sein, um
die Konzentration beim Maximum auszugleichen.

[Bartosz B. (bartosz)]

Egon D. schrieb:
> Bartosz B. schrieb:
>
>> Ich habe mir Doppelintegrale 5 Jahre nicht angeschaut.
>
> Bei mir sind es eher 25...
>
>
>> Aber ich habe gedacht, ihr werdet es verstehen, wenn
>> ich nicht jede Kleinigkeit hinschreibe. Aber Recht
>> haste, ich schreibe dazu „in den Grenzen von .. bis ..“
>
> Ich habe nicht nur das gemeint.
>
> Ich kenne das so, dass man erstmal das komplette Modell
> formelmäßig hinschreibt, alles umformt und einsetzt und
> erst ganz am Schluss Zahlen einsetzt.
>
> Wahrscheinlich würde dann eher auffallen, dass
> Deine Rechnerei mit der Fläche so nicht stimmt.

Ja, deswegen der Thread. Ok, dann ändere ich das.
>
>
>> Die y-Koordinate des Schwerpunktes muss knapp unter
>> der halben Höhe sein.
>
> Nee, sie muss über der halben Höhe sein.
>
> In der Nähe des Maximums läuft das schmale Band fast
> waagerecht, und es ist ziemlich viel "Masse" bei etwa
> derselben Höhe konzentriert. Dagegen läuft das Band
> an den Seiten fast senkrecht; die Masse verteilt sich
> viel gleichmäßiger über die "Hebellänge". Der
> "Hebelarm" an den Seiten muss daher länger sein, um
> die Konzentration beim Maximum auszugleichen.

Gut anschaulich erklärt, danke!

Fläche ist A=π/2*(190^2-185^2 )=2945,24mm^2 und damit ist das 
Endergebnis ys=119,37

Richtig?

[Manfred L. (egonotto)]

Hallo,

119,37 mm hab ich auch rausbekommen.

MfG
egonotto

[Egon D. (Gast)]

Bartosz B. schrieb:

> Fläche ist A=π/2*(190^2-185^2 )=2945,24mm^2 und
> damit ist das Endergebnis ys=119,37
>
> Richtig?

Weiss ich nicht -- es ist immerhin das, was ich
auch heraushabe :)

Das Band ist ja relativ schmal; man könnte es
also durch einen (massebehafteten) "Draht"
annähern. Für den Draht käme (2/pi)*r als ys
heraus, das ist in Zahlen 119,366.

Das Ergebnis ist also plausibel, ja.