Hallo, vielleicht weiß hier jemand Rat: bei folgender Aufgabe https://www.mathelounge.de/476905/marsmission-aufgabe-ableitung kommen 35m raus. Mir ist die Einheitenrechnung dazu unklar. Wo kommt das m (Meter) in der Lösung her?
> Wo kommt das m (Meter) in der Lösung her?
Ich sehe dort zwar keine Lösung, aber die Berechnung ist trivial. Und
die Einheit kommt aus der Einheit der X-Achse ("Breite" des modellierten
Kraters).
HTH
>Mir ist die Einheitenrechnung dazu unklar. Wo kommt das m (Meter) in der >Lösung her? Es wurde statt der Originalaufgabe
1 | [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800m breit und 200m tief ist. |
eine andere Aufgabe gelöst, nämlich
1 | [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800 breit und 200 tief ist. |
Dann wurde als Lösung 35 ausgerechnet und dieses Ergebnis auf die Originalaufgabe rücktransformiert: 35 --> 35 m. Die hinzuzufügende Einheit muss eine Längeneinheit sein, weil nach dem Durchmesser gefragt wurde, und es muss die Längeneinheit Meter sein, weil nur diese im Text der Originalaufgabe vorkommt.
LostInMusic schrieb: >> Mir ist die Einheitenrechnung dazu unklar. Wo kommt das m > (Meter) in der >> Lösung her? > > Es wurde statt der Originalaufgabe > [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800m breit und > 200m tief ist. > > eine andere Aufgabe gelöst, nämlich > [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800 breit und > 200 tief ist. > > Dann wurde als Lösung 35 ausgerechnet und dieses Ergebnis auf die > Originalaufgabe rücktransformiert: 35 --> 35 m. Das ganze wird unter Experten der Mathematik auch wheatston'sche Faltungsintegraltransformation genannt. Die Rücktransformation bedarf allerhöchste Achtsamkeit. Es drohen ansonsten langfristige UN-Sanktionen.
Heute schon geschissen? schrieb: >> Es wurde statt der Originalaufgabe >> [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800m breit und >> 200m tief ist. ..... > Das ganze wird unter Experten der Mathematik auch wheatston'sche > Faltungsintegraltransformation genannt. ... Die Aufgabe wurde gegendert. a) "der Meter", muss zu "die Meter" werden, b) "m" durch "m/w/d" ersetzt werden c) die 800 (m/w/d) breit, d) Oh Schreck, "die 800 breit", das beleidigt (w/d), e) also muss "w/d" wieder weg, f) "m" alleine darf nicht mehr sein, wegen gendern! Deshalb finale Lösung: h) "der 800 breit" (Notgedrungen wegen der Physik wird dann am Ende noch das "m" geschrieben, aber wehe öfters.)
LostInMusic schrieb: > Dann wurde als Lösung 35 ausgerechnet und dieses Ergebnis auf die > Originalaufgabe rücktransformiert: 35 --> 35 m. Ja das war mir auch klar ;) Aber kann jemand möglicherweise anhand der Gleichung die Einheitenrechnung durchführen und somit zeigen, warum x die Einheit Meter haben muss? f ' (x) = tan(5°) = 0,0875 (1/400) * x = 0,0875 x = 35
a) Eine naheliegende Modellierung:
\begin{equation}
f\left(-400\right)=0 ~~~ (B1)
\end{equation}
\begin{equation}
f\left(400\right)=0 ~~~~ (B2)
\end{equation}
\begin{equation}
f(0)=-200 ~~~ (B3)
\end{equation}
Aus (B1) und (B2):
\begin{equation}
f\left(x\right)=A\cdot\left(x+400\right)\left(x-400\right)
\end{equation}
\begin{equation}
=A\cdot x^{2}-A\cdot160.000
\end{equation}
Aus (B3):
\begin{equation}
f\left(0\right)=-A\cdot160.000=-200
\end{equation}
\begin{equation}
A=\frac{1}{800}
\end{equation}
Zusammen:
\begin{equation}
f\left(x\right)=\frac{1}{800}x^{2}-200
\end{equation}
b)
Berechnung des Tangentenwinkels am Kraterrand:
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{400}x
\end{equation}
\begin{equation}
\tan\alpha=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|_{x=\pm400}=\pm1
\end{equation}
\begin{equation}
\arctan\left(\pm1\right)=\pm45°
\end{equation}
45° > 30°. Das Fahrzeug erklimmt den Kraterrand nicht.
c)
Berechnung, wo der Tangentenwinkel 5° beträgt:
\begin{equation}
\tan\left(5°\right)=\frac{1}{400}x
\end{equation}
\begin{equation}
x=400\cdot\tan\left(5°\right)\approx35
\end{equation}
Das ist aber nur der Radius (des Rotationskörpers um die y-Achse), also
\begin{equation}
D\approx70
\end{equation}
Der Modellierung ist die Einheit egal, aus dem Kontext ergibt sich das
Meter.
Heinz schrieb: > Mir ist die Einheitenrechnung dazu unklar. Wo kommt das m (Meter) in der > Lösung her? Ganz simpel: beim Lösungsweg haben sie die Einheit [m] unterschlagen und am Ende wieder dazugedacht. (1/400)•x = 0,0875 muß eigentlich (1/400m)•x = 0,0875 heißen. Daraus: x = 400m•0,0875 = 35m. Das 0,0875 kommt ja aus der Winkelfunktion und ist einheitenlos. Eigentlich zieht man die Einheiten von vorne bis hinten durch. Sinnvoll am Ende eine Einheitenbilanz zu machen, dann fallen Fehler direkt auf.
Heinz schrieb: > Aber kann jemand möglicherweise anhand der Gleichung die > Einheitenrechnung > durchführen und somit zeigen, warum x die Einheit Meter haben muss? Da gibt es keine Rechnung. Es ist aufgrund der Aufgabenstellung eine Festlegung, dass sowohl x als auch f(x) die Einheit Meter haben. So sollen die Achsen dieser Parabel eben beschriftet sein. Die viel spannendere Frage ist, woher sich rechnerisch (nicht anschaulich - das ist klar) die Einheit von f'(x) ergibt. Dazu muss man sich an die Definition der Ableitung erinnern, die man heute praktischerweise nicht mehr in der Schule lernt, weil Grenzwerte zu anstrengend für die Millenials und spätere Generationen sind. Für alle anderen:
In Einheiten also (Meter - Meter)/(Meter - Meter), also 1. Das passt anschaulich mit der ebenfalls dimensionslosen Steigung zusammen. Allgemein hat die Ableitung die Einheit der Hauptfunktion geteilt durch die Einheit der Variable.
In der Aufgabenstellung finden sich schon mal wenigstens zwei fette Rechtschreibfehler. Ein erbärmliches Bild!
Die Tatsache, dass x und y die Einheit m haben und beide Seiten der Gleichung y = a x^2 dimensionsgleich sein müssen, zwingt dem Faktor a die Einheit 1/m auf: a = 1/(800 m) Die Steigung f'(x) = 2 a x ist dimensionslos: f'(x) = 1/(400 m) x Die vorletzte Gleichung lautet damit: 1/(400 m) x = 0.0875 Daraus folgt x = 35 m
Ganz banal: a) Allgemeine Formel: y = f(x) = ax² + b Aus Aufgabe: b = -200m; x = 800m / 2 = 400m Da der Kraterrand auf 0m Höhe ist, gilt: f(400m) = a * (400m)² - 200m = 0m => 200m / (400m)² = a = 1,25*10^-3 * 1/m Also: f(x) = 1,25*10^-3 * 1/m * x² - 200m b) f'(x) = 2,5*10^-3 * 1/m * x Da am Kraterrand die Steigung am steilsten ist, muss nur die Position des Kraterrandes eingesetzt werden: f'(400m) = 2,5*10^-3 * 1/m * 400m = 1 Steigung in Grad am Kraterrand ist somit: arctan(1) = 45° Ergo, der Kraterrand kann nicht erreicht werden. c) Da die Steigung zum Rand hin größer wird, muss nur der Abstand vom Kratermittelpunkt gefunden werden an dem die Steigung 5° beträgt, alles innerhalb dieser Entfernung vom Mittelpunkt aus ist demnach flacher als 5°. Aus Aufgabe: Steigung max 5° tan(5°) = f'(x) = 2,5*10^-3 * 1/m * x => x = tan(5°) / (2,5*10^-3 * 1/m) = tan(5°) 400 m = 35m Da die 35m vom Kratermittelpunkt aus gezählt werden und nur den Radius darstellen, müssen diese noch auf 70m verdoppelt werden, da nach dem Durchmesser gefragt wurde. EDIT: Statt 1,25*10^-3 kann man natürlich auch 1/800 schreiben. EDIT2: Gerade gesehen das auf der verlinkten Seite ja auch ein, wenn auch mieser, Lösungsweg vorhanden war.
:
Bearbeitet durch User
Heinz schrieb: > bei folgender Aufgabe > https://www.mathelounge.de/476905/marsmission-aufgabe-ableitung Da gefällt mir in Teilaufgabe A die "Profikurve" mal so richtig gut. Das ist nichts für Anfänger.. ;-)
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Stefan-vs-Elton.jpg
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Elton und Stefan müssen mit jeweils einem Zwergbagger ein Loch graben. Elton hat nach 30 Sekunden ein Fünftel der geforderten Tiefe erreicht. Stefan hat in derselben Zeit ein Viertel der Tiefe erreicht und ist somit bereits sechs Zentimeter Tiefer als Elton. Wie tief soll das geforderte Loch werden?
Michael M. schrieb: > Elton und Stefan müssen mit jeweils einem Zwergbagger ein Loch graben. > Elton hat nach 30 Sekunden ein Fünftel der geforderten Tiefe erreicht. > Stefan hat in derselben Zeit ein Viertel der Tiefe erreicht und ist > somit bereits sechs Zentimeter Tiefer als Elton. > > Wie tief soll das geforderte Loch werden? Es ist gar nicht so einfach, mit einem Minibagger ein Loch von mehr als einem Meter Tiefe auszuheben. Wie ging es aus?
Tilo R. schrieb: > Es ist gar nicht so einfach, mit einem Minibagger ein Loch von mehr als > einem Meter Tiefe auszuheben. Naja, nachdem keine besondere Geometrie des Loches gefordert ist, wäre der für die Aufgabe locker ausreichend: https://www.beyer-mietservice.de/bagger/minibagger/mb110k/
Wer das clever lösen will, betrachtet einen formgleichen Krater mit Radius 1 und Tiefe 1/2. Da man weiß, wie die Normalparabel im Intervall [-1...1] aussieht, kann man dessen Profilfunktion sofort hinschreiben: f(r) = 1/2 r^2 - 1/2 woraus die Steigung zu f'(r) = r resultiert. Die Steigung am Kraterrand folgt zu f'(1) = 1 entsprechend 45° - damit ist das Fahrzeug überfordert. Die Aufgabenteile (b) und (c) sind mit der Berechnung der Tangense der Winkel erledigt: tan(30°) = 0.57735 tan(5°) = 0.08749 Das Fahrzeug hat also einen Aktionsradius von 0.57735 · 400 m = 230.94 m und einen Landeradius von 0.08749 · 400 m = 35 m. Die "Umrechnungslänge" 400 m ist richtig, weil das der Radius des realen Kraters ist.
Die Aufgabe erinnert mich an eines der frühen Computerspiele "Mondlandung". Mit dem vorhandenen Treibstoff musste die Mondfähre gelandet werden. War man am Ende des Vorrats noch nicht auf dem Boden, dann hieß es "Sie haben einen Krater von xxx Metern Durchmesser geschlagen, der nach Ihnen benannt wurde". Der berechnete Durchmesser ergab sich irgendwie aus der Absturzhöhe.
Übers Wochenende einen Bagger zu mieten wäre eine coole Idee. Jetzt muss ich nur noch einen Ort finden, wo man in Ruhe baggern kann. Also entweder wo man das darf oder zumindest wo man vor Montag nicht entdeckt wird.
https://www.hpmuseum.org/software/25moonld.htm Für meinen HP-25 gab es auch ein Mondlandeprogramm, allerdings ohne die Berechnung des Kraterdurchmessers. Stattdessen die Aufprallgeschwindigkeit. Hier auch die Berechnungsformeln dazu.
Walter T. schrieb: > oder zumindest wo man vor Montag nicht entdeckt > wird. Das hängt auch davon ab welche Leitungen du beim Wildbaggern zerstörst. Zerstörte Strom-, Gas-, Wasser-, Telefon/Daten-, und TV-Leitungen können sehr auffällig sein. Einen Abwasserkanal anbuddeln wird schwer und wird nicht so schnell erkannt. Ganz böse ist auch das Zeug dass die Friedensbringer im zweiten Weltkrieg auf uns geworfen haben. Da sollte man auch nicht reinbaggern.
Heiner schrieb: > zu anstrengend für die Millenials Meinst Du vielleicht "Millennials"? Oder wolltest Du das Ganze von "Anus" ableiten statt von "Annum"?
Heiner schrieb: > Dazu muss man > sich an die Definition der Ableitung erinnern, die man heute > praktischerweise nicht mehr in der Schule lernt, weil Grenzwerte zu > anstrengend für die Millenials und spätere Generationen sind. Zur Ehrenrettung der heutigen Generation (und meiner Tochter): In NDS Stoff der 11. Klasse, KW 37 wenn ich mich recht erinnere.
Michael M. schrieb: > Elton und Stefan Da ist schon der erste Fehler. Nicht gegendert, die Quote nicht eingehalten, daher ist der Rest nicht mehr zu lesen. :o))
Markus schrieb: > Zur Ehrenrettung der heutigen Generation (und meiner Tochter): In NDS > Stoff der 11. Klasse, KW 37 wenn ich mich recht erinnere. Ja hier in B das gleiche :) Meine Tochter kam selbst drauf, aber ich konnte ihr (und mir) nicht auf Anhieb erklären, wo die Einheit m her kommt. Nun dank der Erklärungen hier ist es wieder klar. Danke an alle.
> Elton und Stefan müssen mit jeweils einem Zwergbagger ein Loch graben. > Elton hat nach 30 Sekunden ein Fünftel der geforderten Tiefe erreicht. > Stefan hat in derselben Zeit ein Viertel der Tiefe erreicht und ist > somit bereits sechs Zentimeter Tiefer als Elton. Unmöglich! 4 ist immer noch viel, VIEL weniger als 5. - Und das ist alles ausgerechnet! ;-)
Elektrofan schrieb: > 4 ist immer noch viel, VIEL weniger als 5. Deutlich mehr als 5 cm! Tilo R. schrieb: > Es ist gar nicht so einfach, mit einem Minibagger ein Loch von mehr als > einem Meter Tiefe auszuheben. Schon nahe dran. Es sind mehr als einen Meter! Aber wieviel genau? Georg M. schrieb: > Wo ist der Haken? Es gibt keinen Haken. Die geforderte Tiefe lässt sich aus diesen Angaben real ausrechnen.
Ich würde es ja ausprobieren, aber jetzt, wo ich einen Platz zum Baggern gefunden habe, geht bei der Baggervermietung keiner ans Telefon.
Walter T. schrieb: > Ich würde es ja ausprobieren, aber jetzt, wo ich einen Platz zum Baggern > gefunden habe, geht bei der Baggervermietung keiner ans Telefon. Schnapp dir einfach eine Schaufel. Damit brauchst du für des erste Viertel bzw. Fünftel auch nicht länger als die beiden Schnarchnasen mit ihren Baggern.
Michael M. schrieb: > Elektrofan schrieb: >> 4 ist immer noch viel, VIEL weniger als 5. > > Deutlich mehr als 5 cm! > > Tilo R. schrieb: >> Es ist gar nicht so einfach, mit einem Minibagger ein Loch von mehr als >> einem Meter Tiefe auszuheben. > > Schon nahe dran. Es sind mehr als einen Meter! Aber wieviel genau? > > Georg M. schrieb: >> Wo ist der Haken? > > Es gibt keinen Haken. Die geforderte Tiefe lässt sich aus diesen Angaben > real ausrechnen. War das mit der Frage echt ernstgemeint? Hatte es eher als rethorische Frage verstanden, aber ansonsten 1,2m natürlich. Rechenweg: y/4 - y/5 = 6cm => (1/4 - 1/5)y = 6cm => y = 6cm * 20 = 120cm
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Bearbeitet durch User
Yalu X. schrieb: > Schnapp dir einfach eine Schaufel. Eine Schaufel hatte ich schon als Dreijähriger. Da fehlt der Reiz.
Heiner schrieb: > die man heute > praktischerweise nicht mehr in der Schule lernt, weil Grenzwerte zu > anstrengend für die Millenials und spätere Generationen sind. In Österreich zumindest schon...also ich denke eher, dass du einfach nur Müll laberst.
Tim T. schrieb: > Rechenweg: y/4 - y/5 = 6cm => (1/4 - 1/5)y = 6cm => y = 6cm * 20 = 120cm Korrekt 👍. Als Zusatzfrage könnte man noch ermitteln, wie tief Elton und Stefan jeweils nach 30 Sekunden gegraben haben: Elton = 24cm und Stefan = 30cm.
Michael M. schrieb: > Tim T. schrieb: >> Rechenweg: y/4 - y/5 = 6cm => (1/4 - 1/5)y = 6cm => y = 6cm * 20 = 120cm > > Korrekt 👍. Als Zusatzfrage könnte man noch ermitteln, wie tief Elton und > Stefan jeweils nach 30 Sekunden gegraben haben: > > Elton = 24cm und Stefan = 30cm. Und wer gewinnt das Spiel? Holt Elton noch auf?
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