Filter-Berechnung

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Hi,

ich will einen Filter berechnen er sieht wie im Anhang dargestellt aus.

Wenn ich das ganze Simuliere beträgt die Grenzfrequenz ca. 357Hz.

Nun meine Frage...

Ich bekomme Mist raus wenn ich es berechnen will und weiß nicht wo es 
klemmt.

Die Impedanz von R2 und C1 lautet wie folgt:

$$1/Z_C=Y_C=1/R_2 +j \omega\cdot C_1$$

Gemessen wird über den Kondensator nach Ground somit gilt die 
Übertragungsgleichung:

$$A(j\omega)=U_a/U_e=Z_C/(R_1+Z_C)=1/(1+R_1\cdot Z_C)$$

Rechnet man das fleißig aus bekommt man:

$$A(j\omega)=1/(1+(R_1/R_2)+j\cdot (R_1 \omega C_1))$$

Wenn ich jetzt mit dem Betragsquadrat die Grenzfrequenz berechnen möchte 
lautet die formel:

$$|A(j\omega)|^2=1/2=1/((1+(R_1/R_2))^2+(R_1 \omega_{gr} C_1)^2)$$

somit gilt:

$$2=((1+(R_1/R_2))^2+(R_1 \omega_{gr} C_1)^2)$$

Wenn ich das nach omega auflöse, komme ich auf:

$$\omega_{gr}=(2-(1+(R_1/R_2))^2)^(1/2)/(R_1 C_1)$$

Nur bekomm ich so eine komplexe Nullstelle da R1/R2 > 2 ist...

Kann mir jemand helfen ich finde den Fehler nicht...

Ich wette es ist ein dummer Vorzeichen Fehler oder sowas...

Wie gesagt mit der Simulation funktioniet es einwandfrei :/

[Michael M. (Firma: Autotronic) (michael_metzer)]

Da R1 mehr als 10 mal so groß ist wie R2, kann man ihn getrost 
ignorieren. Also lautet die Formel:

Fg = 1 / (2 * 3,14  4700  100 * 10^-9)

Fg = 340 Hz

[Lothar M. (Firma: Titel) (lkmiller) (Moderator)]

Michael M. schrieb:
> Da R1 mehr als 10 mal so groß ist wie R2, kann man ihn getrost ignorieren.
Allerdings ist es eigentlich auch kein Aufwand, den korrekten 
Innenwiderstand R1||R2 auszurechnen und kommt mit 4k44 über
fg = 1/(2piRC) auf fg = 358Hz.

[H. H. (Gast)]

Lothar M. schrieb:
> Michael M. schrieb:
>> Da R1 mehr als 10 mal so groß ist wie R2, kann man ihn getrost ignorieren.
> Allerdings ist es eigentlich auch kein Aufwand, den korrekten
> Innenwiderstand R1||R2 auszurechnen und kommt mit 4k44 auf fg = 358Hz.

ACK, Ersatzspannungsquelle.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Ist mein im ersten Post beschriebenes Vorgehen denn richtig? Ich würde 
schon gern wissen wo es oben klemmt :/

Und was meinst du mit "korrektem Innenwiderstand" ?

(Und warum kann man R1 und R2 als parallel ansehen ???)

[Ingo L. (corrtexx)]

Aaron K. schrieb:
> Und was meinst du mit "korrektem Innenwiderstand" ?
>
> (Und warum kann man R1 und R2 als parallel ansehen ???)

H. H. schrieb:
> Ersatzspannungsquelle.

Grundlagen der Elektrotechnik ;)

[Achim H. (anymouse)]

Ich glaube, das Problem entsteht an der Stelle, wo Du das 
Betrags-Quadrat der (komplexen) Übertragungsfunktion berechnest. Da kann 
man nicht einfach den Nenner als "Re^2 + Im^2" nehmen.

[Elektrofan (Gast)]

> (Und warum kann man R1 und R2 als parallel ansehen ???)

Gucke mal aus Sicht des Kondensators.
V1 ist "ideal" (Grundlagen).

[Achim H. (anymouse)]

Achim H. schrieb:
> Ich glaube, das Problem entsteht an der Stelle, wo Du das
> Betrags-Quadrat der (komplexen) Übertragungsfunktion berechnest. Da kann
> man nicht einfach den Nenner als "Re^2 + Im^2" nehmen.

Nee, das ist okay. ABER: bei Zc müsste der Kondensator-Anteil negativ 
sein.

[H. H. (Gast)]

Achim H. schrieb:
> Achim H. schrieb:
>> Ich glaube, das Problem entsteht an der Stelle, wo Du das
>> Betrags-Quadrat der (komplexen) Übertragungsfunktion berechnest. Da kann
>> man nicht einfach den Nenner als "Re^2 + Im^2" nehmen.
>
> Nee, das ist okay. ABER: bei Zc müsste der Kondensator-Anteil negativ
> sein.

ACK, Vorzeichenfehler in seiner vierten Gleichung.

[Lutz V. (lvw)]

So eine Schaltung kann nur zu einer einfachen Gleichung 
(Übertragungsfunktion) 1. Grades führen.

Simpler Rechenfehler bei der zweiten Formel: A(jw)=1/(1+R1/Zc).

(Kleiner Tip: Einheiten-Kontrolle kann leicht solche blöden Fehler 
aufdecken, zu einer "1" kann nur was dimensionsloses addiert werden)

[Michael M. (Firma: Autotronic) (michael_metzer)]

Aaron K. schrieb:
> (Und warum kann man R1 und R2 als parallel ansehen ???)

Ich stelle mir das immer so vor, dass ich mit meinem ganzen Körper in 
den Kondensator reinkrabbel und im Kondensator auf einem Drehstuhl Platz 
nehme 🍰 .

Wenn ich jetzt in Richtung Quelle schaue, dann erwarte ich, dass die 
Quelle unendlich niederohmig ist und schon sind der 82k und der 4k7 
wechselstrommäßig parallel geschaltet.

Wenn ich mich jetzt mit dem Drehstuhl umdrehe und in Richtung 
Folgeverstärkerstufe schaue, dann erwarte ich als Kondensator eine 
unendlich hohe Eingangsimpedanz, damit meine 4k44 nicht weiter belastet 
werden und somit die errechnete Grenzfrequenz erhalten bleibt.

[Willi (Gast)]

Ein weiterer Fehler liegt in der 4. Gleichung. Dort möchtest du die 
Grenzfrequenz berechnen mit 1/sqrt(2) (also -3dB). Deine Schaltung hat 
aber auch schon bei f=0 eine Dämpfung von -25,3dB, welche sich aus dem 
Spannungsteiler der ohmschen Widerstände ergibt. Deine Grenzfrequenz 
liegt also bei -28,3dB.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Lutz V. schrieb:
> Simpler Rechenfehler bei der zweiten Formel: A(jw)=1/(1+R1/Zc).

Sehe gerade dass ich einen Tippfehler habe. es lautet natürlich nicht 
R_1*Z_c sondern R_1*Y_c (Leitwert), dann gehen die Einheiten auf. Ist 
aber nur ein Tippfehler hier im Forum. Auf dem Papier steht es richtig 
:| sry...

Zu es sollte

Achim H. schrieb:
>Nee, das ist okay. ABER: bei Zc müsste der Kondensator-Anteil negativ
sein.

Das sollte doch richtig sein oder nicht?

$$1/j=j^{-1}=-j$$

und

$$\frac{-j}{\omega C}=\frac{1}{j \omega C}$$

oder sehe ich das falsch ??? :/

[Lutz V. (lvw)]

Ergänzung zu meinem letzten Beitrag:
Ich habe erst jetzt gemerkt, dass der von mir angesprochene Fehler in 
der folgenden zeile korrigiert wurde.
Dann also weiter:

Im Nenner steht: N(jw)=[1 + R1/R2  +jwR1C] = [(R1+R2)/R2 + jwR1C]

Um die Normalform (mit einer "1" im Nenner) zu erzeugen, werden Zähler 
und Nenner mit R2/(R1+R2) multipliziert. Dann ist die bei "jw" stehende 
Zeitkonstante T identisch zu T=1/wg. (Einfache Rechnung).

Gleichzeitig muss im Zähler dann der Wert stehen für Ao=A(jw=0).

Alternative: Mann kann natürlich auch kompliziert rechnen über die 
Definition der Grenzfrequenz: Betrag |A|=Ao-3dB oder |A|=Ao/1,4142.
Dabei ist Ao=R2/(R1+R2).
Für den Betrag muss man dann erst Re(A) und IM(A) bilden.
(Wieso willst Du über A² gehen?)

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Lutz V. schrieb:
> (Wieso willst Du über A² gehen?)

Definition der Grenzfrequenz ist die halbe Leistung und mit dem 
Betragsquadrat errechnet man die Leistung eines Signals. Ist aus dem 
Buch "Martin Meyer Signalverarbeitung" auf Seite 50. Ist dort mit 
kleinem Beispiel, deckt sich auch mit dem was ich in den Aufzeichnungen 
von meinem Dozenten finde. Aber iwie kommt bei mir nicht das richtige 
raus...

[HildeK (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Und was meinst du mit "korrektem Innenwiderstand" ?

> (Und warum kann man R1 und R2 als parallel ansehen ???)

Ein Spannungsteiler an einer idealen Spannungsquelle Uo (mit Ri=0) 
verhält sich am Teilerpunkt wie eine neue Spannungsquelle mit der 
Spannung Uo*R2/R1, jetzt jedoch mit dem Innenwiderstand Ri = R1 || R2.
Damit hast du zunächst mal einen kräftig reduzierten Pegel auch bei 0 Hz 
und zudem wirkt nun dieser Innenwiderstand mit dem C als Tiefpass.
Dein Netzwerk hat die allereinfachste Form; das selbe geht auch mit 
komplizierteren Netzwerken mit einer Mischung aus Widerständen, 
Spannungs- und Stromquellen.

Das ist es, was u.a. von H. H. in Kurzform geschrieben wurde 😀.
H. H. schrieb:
> ACK, Ersatzspannungsquelle.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Willi schrieb:
> Ein weiterer Fehler liegt in der 4. Gleichung. Dort möchtest du die
> Grenzfrequenz berechnen mit 1/sqrt(2) (also -3dB). Deine Schaltung hat
> aber auch schon bei f=0 eine Dämpfung von -25,3dB, welche sich aus dem
> Spannungsteiler der ohmschen Widerstände ergibt. Deine Grenzfrequenz
> liegt also bei -28,3dB.

Hab ich jetzt mitbeachtet. Guter Tipp!!!

Aber leider kommt immernoch nicht das richtige raus. Grundsätzlich 
lautet meine Formel dann ja:

$$|A(j\omega)|=\frac{\sqrt{\frac{1}{V_{-3dB}}-(1+\frac{R_1}{R_2})^2}}{R_1 C_1}$$

wobei V_-3dB hier -28.3dB entspricht also ca. 0.04. Dann bekomme ich 
aber immernoch eine komplexe Lösung... :|

[Lutz V. (lvw)]

Aaron K. schrieb:
> Lutz V. schrieb:
>> (Wieso willst Du über A² gehen?)
>
> Definition der Grenzfrequenz ist die halbe Leistung und mit dem
> Betragsquadrat errechnet man die Leistung eines Signals.

OK - klar. Mein Kurz-Kommentar bezog sich nur auf die Tatsache, dass 
dieser Weg nicht gerade der einfachste ist - deshalb die Frage "warum"?
Viel einfacher ist es doch, die Funktion auf die "Normalform" (Mit Ao im 
Zähler und der "1" im Nenner) zu bringen und im Nenner Re=Im zu setzen, 
oder?

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Das mag sein. Hab ich noch nicht ausprobiert.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Lutz V. schrieb:
> Um die Normalform (mit einer "1" im Nenner) zu erzeugen, werden Zähler
> und Nenner mit R2/(R1+R2) multipliziert. Dann ist die bei "jw" stehende
> Zeitkonstante T identisch zu T=1/wg. (Einfache Rechnung).
>
> Gleichzeitig muss im Zähler dann der Wert stehen für Ao=A(jw=0).

Super Tipp!!!

Funktioniert einwandfrei :) Aber woher weißt du dass diese Zeitkonstante 
gleich 1/w_G ist? Hast du mir ein Tipp unter welchem Begriff ich mehr 
dazu lernen kann? Vlt. sogar ein Buch :D?

Aber über meine Formel komme ich nach wie vor auf kein Ergebnis. Ich 
wüsste echt gerne welchen Fehler ich mache...

Ich hab das ganz mal durchgerechnet. ich müsste ca. 30dB unter meiner 
errechneten Grenzfrequenz liegen, um reelle Werte als Lösung zu 
bekommen. Bin mir aber ziemlich sicher dass der Rechenweg zumindest bis 
zur Übertragungsfunktion richtig ist. Danach bin ich mir nicht mehr 
100%ig sicher aber das Prinzipielle Vorgehen sollte stimmen. Wie gesagt 
Dozent und davon unabhängiges Buch sagen beide, dass der Lehrbuch-Weg 
über das Betragsquadrat geht.

[Lutz V. (lvw)]

Aaron K. schrieb:
> Lutz V. schrieb:
>> Um die Normalform (mit einer "1" im Nenner) zu erzeugen, werden Zähler
>> und Nenner mit R2/(R1+R2) multipliziert. Dann ist die bei "jw" stehende
>> Zeitkonstante T identisch zu T=1/wg. (Einfache Rechnung).
>>
>> Gleichzeitig muss im Zähler dann der Wert stehen für Ao=A(jw=0).
>
> Super Tipp!!!
>
> Funktioniert einwandfrei :) Aber woher weißt du dass diese Zeitkonstante
> gleich 1/w_G ist? Hast du mir ein Tipp unter welchem Begriff ich mehr
> dazu lernen kann? Vlt. sogar ein Buch :D?
>
Die Antwort ist relativ einfach - geht so aber nur beim Tief-/Hochpass 
erster Ordnung.

Normalform für jeden einfachen TP 1. Ordnung:

H(jw)=Ao/(1+jwT) .......der Faktor beim "jw" hat (bei richtiger 
Rechnung) immer die Dimension der Zeit.

Wegen der Definition |A(jw_g)|=Ao/1,4142

muss also der Betrag des Nenners N bei w=w_g den Wert "Wurzel aus 2" 
haben.

Und das geht nur für [1²+(w_gT)²]=2 , also w_gT=1 und w_g=1/T.

(Buch-Tipp: "Aktive Filter und Oszillatoren", Springer-Verlag;
die Höflichkeit verbietet es mir, den Autor zu nennen)

[Dieter H. (kyblord)]

Hier ist die Rechnung. Für den Betrag kann man einfach jeweils den 
Betrag des Zählers und den Betrag des Nenners bilden. Der Betrag einer 
komplexen Zahl ist definiert als sqrt( Re(z)^2 + Im(z)^2 ).

Bei der Grenzfrequenz teile ich zunächst durch R2, quadriere die 
Gleichung, dann bilde ich den Kehrwert, schiebe (R1+R2)^2 rüber, löse 
nach w_G^2 auf und ziehe anschließend die Wurzel.

Der Fehler liegt bei dir bereits im Aufstellen der Übertragungsfunktion. 
Man kann den Spannungsteiler so nicht mehr nutzen, wenn er belastet ist. 
Man kann aber zusammenfassen zu einem Gesamtwiderstand. Da R2 zu C 
parallel bleibt die Spannung die selbe nach dem Zusammenfassen. Jetzt 
kann mit dem Spannungsteiler gerechnet werden.

[Forist (Gast)]

Dieter H. schrieb:
> scann1.jpg
> 240 KB
>
> scann2.png
> 2,9 MB

Erkenne den Unterschied

Schon gelesen: "Bitte das JPG-Format nur für Fotos und Scans 
verwenden!"?

[Willi (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Aber leider kommt immernoch nicht das richtige raus. Grundsätzlich
> lautet meine Formel dann ja:
>
> ...
>
> wobei V_-3dB hier -28.3dB entspricht also ca. 0.04. Dann bekomme ich
> aber immernoch eine komplexe Lösung... :|

Du hast beim Umstellen leider wieder einen Fehler gemacht.
Du must 1/V-3dB noch quadrieren. Dann schreibst du noch unter den Bruch 
zusätzlich 2*pi und auf der linken Seite des Gleichheitszeichens fg 
statt |A(jw)|.
Wenn man dann alles eintippt und statt mit 0,04 mit 0,03833 etwas 
exakter rechnet, dann kommt fg=358Hz heraus.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Willi schrieb:
>> wobei V_-3dB hier -28.3dB entspricht also ca. 0.04. Dann bekomme ich
>> aber immernoch eine komplexe Lösung... :|
>
> Du hast beim Umstellen leider wieder einen Fehler gemacht.
> Du must 1/V-3dB noch quadrieren. Dann schreibst du noch unter den Bruch
> zusätzlich 2*pi und auf der linken Seite des Gleichheitszeichens fg
> statt |A(jw)|.
> Wenn man dann alles eintippt und statt mit 0,04 mit 0,03833 etwas
> exakter rechnet, dann kommt fg=358Hz heraus.

DANKEEEE !!!!
Das war der letzte Fehler! Jetzt kommt das richtige raus.

Noch mal zusammenfassend:
Der Ansatz war richtig, jedoch hattest du völlig recht. Ich habe Schon 
ein gedämpftes Signal. Also gibt es keinen -3dB Schnittpunkt sondern 
eben erst bei 28.3dB. Und bei der Betragsquadrierung ist das Ergebnis 
1/2 da es das quadrat von ist.

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}$$

Also muss logischerweise auch V_3dB quadriert werden wodurch die Formel 
so aussieht:

$$f_g=\frac{\sqrt{\frac{1}{V_{3dB}^2}+(1+\frac{R_1}{R_2})^2}}{2 \pi \cdot R_1 C_1}$$

Wenn man nun die Werte von oben einsetzt, kommt tatsächlich 358Hz 
heraus. Das stimmt mit der Simulation überein.

Danke für alle die mie geholfen haben. Ich habe dadurch viel dazu 
gelernt :)

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Dieter H. schrieb:
> Der Fehler liegt bei dir bereits im Aufstellen der Übertragungsfunktion.
> Man kann den Spannungsteiler so nicht mehr nutzen, wenn er belastet ist.
> Man kann aber zusammenfassen zu einem Gesamtwiderstand. Da R2 zu C
> parallel bleibt die Spannung die selbe nach dem Zusammenfassen. Jetzt
> kann mit dem Spannungsteiler gerechnet werden.

Danke für deine Antwort aber deine Übertragungsfunktion ist die selbe 
wie meine. Du musst nur mit 1/R2 erweitern. :)

$$\frac{R_2\cdot\frac{1}{R_2}}{\left(R_2+R_1+jR_1 R_2 \omega C_1\right)\cdot\frac{1}{R_2}}=\frac{1}{1+\frac{R_1}{R_2}+j \omega R_1 C_1}$$

Unsere Ansätze zum Aufstellen der Übertragungsfunktion sind prinzipiell 
gleich. Nur beim Ausrechnen der Grenzfrequenz hab ich mir ein wenig 
schwer getan.

Aber dein Ansatz für die Grenzfrequenz ist schicker ;)

$$\left|A(j\omega)\right|=\left|A(0)\right|\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Damit beachtet man die resistive Dämpfung durch A(0) direkt mit.

Also auch hier. Guter Tipp ! :)

[Willi (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Also muss logischerweise auch V_3dB quadriert werden wodurch die Formel
> so aussieht:
>
> ...
>
> Wenn man nun die Werte von oben einsetzt, kommt tatsächlich 358Hz
> heraus. Das stimmt mit der Simulation überein.
>
> Danke für alle die mie geholfen haben. Ich habe dadurch viel dazu
> gelernt :)

Gerne doch. Allerdings ist der Lösungsweg von Lothar wesentlich 
eleganter.

[Lutz V. (lvw)]

Willi schrieb:
 Allerdings ist der Lösungsweg von Lothar wesentlich
> eleganter.

Noch "eleganter" (besser: kürzer) ist es, wenn man weiß,
* dass beim Tiefpass 1. Ordnung w_g=1/T gilt, und
* dass man T ganz einfach der Schaltung entnehmen kann, wenn man sich 
vorstellt, über welchen Gesamtwiderstand sich der einmal aufgeladene 
Kondensator C entladen kann: Hier T=(R1||R2) * C .

* Damit w_g=1/RpC mit Rp=R1||R2.

[Elektrofan (Gast)]

> Filter-Berechnung

Soviele Beiträge schon, für eine einfache Grundlagen-Aufgabe!
(Und wenigstens bisher noch ganz ohne Juristen ...)

Ein Beleg mehr dafür, was es mit dem 'Fachkräftemangel' in D
so auf sich hat.     SCNR

[Lutz V. (lvw)]

Elektrofan schrieb:
>> Filter-Berechnung
>
> Soviele Beiträge schon, für eine einfache Grundlagen-Aufgabe!
> (Und wenigstens bisher noch ganz ohne Juristen ...)
>
> Ein Beleg mehr dafür, was es mit dem 'Fachkräftemangel' in D
> so auf sich hat.     SCNR

Hallo Elektrofan, Du hast recht - sofern man sich einfach damit 
zufrieden gibt, mit vorgefertigten Formeln zu arbeiten (ohne Verständnis 
für den Hintergrund).

Es gibt aber zum Glück auch Menschen, die etwas tiefer einsteigen 
möchten und sich z.B. für die Definition gewisser Parameter (Grundlagen 
für Formeln) und die Anwendung dieser Definition auf die Berechnung von 
Schaltungen interessieren.

Und dann kann es durchaus dem vertieften Verständnis dienen, wenn man - 
wie hier gerade demonstriert - unterschiedliche Wege beschreitet, um zum 
Ergebnis zu kommen.

Man könnte sogar aus dieser - wie Du sagst - "einfachen 
Grundlagen-Aufgabe" noch sehr viel mehr "herausholen" (Definition 
Polfrequenz, Güte-Definition, Integrationsverhalten, Zeitverhalten, 
....).
Man sollte also auch (auf den ersten Blick) einfach erscheinenden 
Aufgabenstellungen gegenüber nicht überheblich sein...