Übertragungsfunktion OpAmp-Integrator

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Vorab: Ich weiß mit z.B. der virutellen Masse kann man diese Aufgabe 
auch lösen, ich würde aber viel lieber wissen warum mein Ansatz klemmt 
oder nicht funktioniert.

Ansatz:

Der invertierende Integrator besteht im Grunde 2 Spannugnsteilern:
1. U_e zum Ausgang des Op Amps
2. U_a zu den Eingangsklemmen

Wenn ich diese Formeln Aufstelle bekomme ich folgendes Gleichungssystem:

$$U_{-}=U_{ein}\cdot\frac{X_{C1}}{X_{C1}+R_1}+U_{out}\cdot\frac{R_1}{X_{C1}+R_1}$$

Da U+ auf Masse gezogen wird ist das gleich 0V. Also lautet meine 
Übertragungsfunktion für den Opamp:

$$U_{out}=(U_{+}-U_{-})\cdot A_0$$

Wenn man einsetzt, umstellt und A_0 = infty setzt, kommt man auf:

$$\frac{U_{out}}{U_{in}}=- \frac{R_1}{X_{C1}}$$

Das ist aber leider falsch. Weiß jemand von euch, wo mein Fehler liegt 
oder ob mein Ansatz überhaupt funktioniert? Bei rein resistiven 
Verstärkern klappt der Ansatz einwandfrei, wenn jedoch ein C dazu komm 
(Integrator, Differenzierer), dann klappts nicht mehr... :|

[Ingo L. (corrtexx)]

R1/Xc1 muss gedreht werden, dann passts

[udok (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Verstärkern klappt der Ansatz einwandfrei, wenn jedoch ein C dazu komm
> (Integrator, Differenzierer), dann klappts nicht mehr... :|

Deine Rechnung klappt schon mit Widerständen nicht.
Sonst könnte ja R1 nicht im Nominator oben stehen.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

udok schrieb:
> Aaron K. schrieb:
>> Verstärkern klappt der Ansatz einwandfrei, wenn jedoch ein C dazu komm
>> (Integrator, Differenzierer), dann klappts nicht mehr... :|
>
> Deine Rechnung klappt schon mit Widerständen nicht.
> Sonst könnte ja R1 nicht im Nominator oben stehen.

Warum sollte das nicht klappen ? Habe ich für den Invertierenden und 
nicht Invertiereneden berechnet. Beide Ergebnisse stimmen. Also entweder 
riesiger Zufall oder der richtige Lösungsweg :|

Zu Ingo L.:
Selbst wenn ich das umdrehte wäre das Ergebnis falsch. Rauskommen 
sollte:

$$\frac{U_{out}}{U_{in}}= - \frac{1}{j \omega R C}$$

Unter den Bedingungen dass:

Verstärkung:

$$A0 = \infty$$

Eingangswiderstand:

$$re = \infty$$

Ausgangswiderstand:

$$ra = 0$$

[Josef (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Da U+ auf Masse gezogen wird ist das gleich 0V. Also lautet meine
> Übertragungsfunktion für den Opamp:
> Uout=(U+−U−)⋅A0U_{out}=(U_{+}-U_{-})\cdot A_0

Bei den ersten Umformungen komme ich auf

Uout = -Um * A0

Uout = -Uein  A0  Xc1/(Xc1+R1) - Uout  A0  R1/(Xc1+R1)

Uout * (1 + A0*R1/(Xc1+R1) = -Uein  A0  Xc1/(Xc1+R1)

Und im weiteren auf ein anderes Ergebnis.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Josef schrieb:
> Aaron K. schrieb:
>> Da U+ auf Masse gezogen wird ist das gleich 0V. Also lautet meine
>> Übertragungsfunktion für den Opamp:
>> Uout=(U+−U−)⋅A0U_{out}=(U_{+}-U_{-})\cdot A_0
>
> Bei den ersten Umformungen komme ich auf
>
> Uout = -Um * A0
>
> Uout = -Uein  A0  Xc1/(Xc1+R1) - Uout  A0  R1/(Xc1+R1)
>
> Uout * (1 + A0*R1/(Xc1+R1) = -Uein  A0  Xc1/(Xc1+R1)
>
> Und im weiteren auf ein anderes Ergebnis.

Wenn du jetzt an nimmst, dass A0 = unendlich, dann kürzt sich da einiges 
raus.

$$U_{out} \cdot \left( 1 + \frac{A_0 R_{1}}{X_{C1}+R_1} \right) = -U_{ein} \cdot \frac{A_0 X_{C1}}{X_{C1}+R_1}$$

wird zu:

$$\frac{U_{out}}{U_{ein}} = \frac{\frac{A_0 X_{C1}}{X_{C1}+R_1}}{1 + \frac{A_0 R_1}{X_{C1}+R_1}} = \frac{A_0 X_{C1}}{X_{C1}+R_1+A_0 R_1}$$

wenn man jetzt annimt, dass bei einem idealen OpAmp A0 = unendlich ist, 
so kürzt sich einiges raus:

$$\frac{U_{out}}{U_{ein}} = \frac{\infty X_{C1}}{X_{C1}+R_1+\infty R_1} \to \frac{\infty X_{C1}}{\infty R_1} \to \frac{X_{C1}}{R_1}$$

Im ersten Schritt fallen XC1 udn R1 heraus, weil sie verschwindend klein 
ggü. unendlich sind. Im zweiten Schritt wird dann einfach gekürzt.

Ist mein Weg richtig?

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Mir fällt gerade auf ich müsste den "Satz de l'Hopitâl" anwenden... Aber 
selbst dann komme ich nicht auf die richtige Lösung...

$$\lim_{\omega\to\infty}\frac{f(\omega)}{g(\omega)}=\lim_{\omega\to\infty}\frac{f'(\omega)}{g'(\omega)}$$

Mein Bruch lautet:

$$\frac{A_0 X_{C1}}{X_{C1}+R_1+A_0 R_1}$$

damit gilt:

$$f(\omega)=A_0 \cdot j\omega C_1 \to f'(\omega)=j A_0 C_1$$

im Nenner das selbe Spiel:

$$g(\omega)=j \omega C_1+R_1+A_0 R_1 \to g'(\omega)=jC_1$$

also wäre mein Grenzwert:

$$\lim_{\omega\to\infty}\frac{f'(\omega)}{g'(\omega)}=\frac{j A_0 C_1}{jC_1}=A_0$$

Das ist aber falsch... Habe ich mich iwo verrechnet ?

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Ok... UFFFFFF ich habe meinen Fehler....

$$X_{C1}=\frac{1}{j \omega C_1}$$

damit gilt:

$$\frac{X_{C1}}{R_1}=\frac{\frac{1}{j \omega C_1}}{R_1}=\frac{1}{j \omega C_1 R_1}$$

.... Boah war der Fehler doof :|

Also meine Rechnung stimmt ... Nur das mit Endwertsatz muss ich nochmal 
anschauen. Danke für eure Hilfe :)

[Pandur S. (jetztnicht)]

Ein sehr aufwendiger weg... Leider sahen wir bisher kein passendes 
Schema.

Nehmen wir den invertierenden OpAmp, wie im Lehrbuch, mit den +Eingang 
auf GND. Dann fliesst der Eingangsstrom  Ie = Ue/Re. Die 
Ausgangsspannung ist
durch diesen Strom bestimmt, der auch durch die rueckkopplungs Impedanz 
geht.

Ua = Ie * Zr = Ue/Re * Zr
also Ua/Ue = Zr/Re

nichts mit Vereinfachen, Kuerzen, Unendlich...

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Auch das Ergebnis des Endwertsatzes macht Sinn. Was ich gemacht habe, 
ist ja die Frequenz gegen unendlich laufen zu lassen. Also habe ich 
sozusagen den Bodeplot-Endwert berechnet. Und der ist A0...

Sieht man auch im angehängten Bild. Also hat sich alles geklärt :)

[Achim S. (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Sieht man auch im angehängten Bild. Also hat sich alles geklärt :)

dein Bild zeigt den Strom durch R1 bei Frequenzen unter 100 Hz. mit dem 
Verlauf der Übertragungsfunktion bei hohen Frequenzen hat das sehr wenig 
zu tun.

[Achim S. (Gast)]

Achim S. schrieb:
> dein Bild zeigt den Strom durch R1 bei Frequenzen unter 100 Hz.

Ups, es ist der Strom durch R2, nicht durch R1. Sorry, war bei der 
Skalierung des Plots auf dem Handy-Bildschirm tatsächlich nicht leicht 
zu erkennen.

Wieso das A0 entsprechen und das Verhalten bei f -> unendlich darstellen 
soll (falls es ernst gemeint war), ist mir aber weiter unklar.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Du hast recht O.o
Ich habe den falschen Bodeplot erstellt...

Wenn ich das neue Bild anschaue, macht mein Endwert-Ergebnis auch wieder 
0 Sinn. Die Endwertverstärkung ist nämlich nicht A0 sondern gegen 0 :|

[Achim S. (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Die Endwertverstärkung ist nämlich nicht A0 sondern gegen 0 :|

genau wie es sein muss. Und wie du in 
Beitrag "Re: Übertragungsfunktion OpAmp-Integrator" ja auch berechnet 
hast.

[Aaron K. (aaron_b_k)]

Ja das schon, aber der Endwert den ich berechnet habe, macht kein Sinn. 
Die Übertragungsfunktion ist fertig. Geht nur noch um den Endwert.

[Lutz V. (lvw)]

OK - bisher habt Ihr alle über die theoretische Berechnung bzw. 
Simulation der invertierenden Integratorschaltung geschrieben - unter 
Annahme des IDEALEN OPV.

Aber klar ist auch: Funktionieren tut diese Schaltung in der Praxis 
nicht wegen der Offsetspannung (nie zu vermeiden), welche den 
Kondensator "langsam" auflädt und den Verstärker in die Begrenzung 
führt.

Also: Immer einen Parallelwiderstand in der Rückführung vorsehen (so 
groß wie möglich), wodurch das Ganze zum TP wird - es sei denn, der 
Integrator ist Element innerhalb einer übergeordneten 
Gegenkopplungsschleife, die auch für DC wirkt.

[Achim S. (Gast)]

Aaron K. schrieb:
> Geht nur noch um den Endwert.

Du meinst, welchen Wert die Übertragungsfunktion für f->unendlich 
annimmt?

Na, was meinst du, wogegen 1/(j*2*pi*f*R1*C1) laufen wird? Sicher nicht 
gegen A0

Lutz V. schrieb:
> unter
> Annahme des IDEALEN OPV.

Ja, klar. Auch die Frequenzabhängigkeit der Leerlaufverstärkung wurde 
bei der bisherigen Berechnung ignoriert. (Bei hohen Frequenzen gilt die 
genutzte Näherung  A0 >> 1 nicht mehr)