Laplace direkt zur Z-Transformation

[Sebastian M. (meeresgott)]

Hallo zusammen,

für die Simulation von Systemen suche ich im Idealfall eine Abkürzung 
von der Laplace Transformation direkt in die Z-Transformation.

Eingabe sind zeitkontinuierliche Systeme

Ausgabe letztlich Differenzengleichungen (Code für einen uC).

Aktuell ist der Weg der gegangen wird wie folgt & es muss über die 
Laplace Transformation bei dem ersten Schritt gegangen werden und der 
letzte Schritt ist auch 'fix'. Ich habe nach einem Weg gesucht, von g(s) 
direkt nach g(z) zu kommen, aber nichts Generelles gefunden. Nur weiß 
ich, dass die Räume unterschiedlich sind und sich neben der 
Diskretisierung auch anders verhalten. Bevor ich ein Einhorn suche, 
dachte ich, vielleicht gibt es jemanden hier der vor mir gesucht hat.

1. g(t) -> g(s)
2. g(s) -> g(t)
3. g(t) -> g[n]
4. g[n] -> g(z)

[Wolfgang (Gast)]

Sebastian M. schrieb:
> für die Simulation von Systemen suche ich im Idealfall eine Abkürzung
> von der Laplace Transformation direkt in die Z-Transformation.

Ganz heil kommst du wegen des Abtasttheorems nicht rüber. Die 
Bilineartransformation bekommt die Transformation zwischen s und z 
halbwegs hin.

[Dieter H. (kyblord)]

Was soll g überhaupt sein? Die Üfunktion? Also diskretisiert du die 
Impulsantwort?

[M. Н. (Gast)]

Wolfgang schrieb:
> Ganz heil kommst du wegen des Abtasttheorems nicht rüber. Die
> Bilineartransformation bekommt die Transformation zwischen s und z
> halbwegs hin.

Jede dieser Transformationen hat so ihre Tücken. Die 
Bilineartrasnformation ist quasi der Standard.

Sie verhält sich technisch so, dass das gesamte Spektrum der Laplace 
Trasnformation in den Frequenzbereich -fs/2 bis + fs/2 (fs = 
Abtastfrequenz) gequetscht wird. Siehe folgende Grafik:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Transformation_(Signalverarbeitung)#/media/Datei:Bilinear_transform_phase_diagram.png

In niedrigen Frequenzbereichen ist die Abbildung nahezu identisch, wird 
dann aber zunehmend zusammengequetscht.

Alternativ kann bspw. auch das Spektrum bzw die Impulsanwort 
diskretisiert werden und dann als FIR Struktur dargestellt werden.

Sobald man die Z-Trasnformierte und somit indirekt auch gleich die 
Differenzengleichung hat, besthen noch diverse Probleme bei der 
Umsetzung der Differenzengleichung.

Bei vielen Filtertypen liegen teils Polstellen nah an der Grenze zur 
Instabilität. Durch die endliche Genauigkeit der digitalen Koeffizienten 
können diese Pole dann in die Instabilität "abrutschen".

In gewissem Maße kann man hier durch eine geeignete Filterstruktur mit 
entsprechendem Polgitter gegensteuern:

Mögliche Filterstrukturen:

- Direktform
- Gold-Rader
- Kingsbury
- Zölzer
- etc.