Durchsatz Kollektor

[Brüno (dominic_m833)]

Ich habe mittlerweile sämtliche Formelsammlungen uä gewälzt, finde aber 
für folgendes Problem keine Lösung:

Wie groß ist der Lichtstrom [W] den eine ideale Kollimationslinse mit 
einer Numerischen Apertur von 0,6 einfängt? Die Quelle ist dabei eine 
lambertsch abstrahlende Led mit 4W Lichtstrom, deren Ausdehnung bei der 
Betrachtung vernachlässigbar ist.

[Achim M. (minifloat)]

Also 0,6× die Kreisfläche der Linse. Den anteiligen Lichtstrom durch 
diese Kreisfläche kann man berechnen...

mfg mf

[cableer (Gast)]

schau dir zunächst mal die Definition der NA an.

NA = n * sin(Theta/26

gehen wir von Luft aus mit n = 1 und Theta als vollem Öffnungswinkel


NA = 0,6 => arcsin(0,6) = 36,9°

Sprich die Kollimatorlinse ist in der Lage strahlen mit einem maximalen 
Winkel von 36,9° einzufangen.

Jetzt musst du aus der Kurve des Lambertstrahlers schauen wie viel 
Integral von 0...36,9° (meist normiert auf 1) steckt.


https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lambertsches_Gesetz

[cableer (Gast)]

Es gilt also für den perfekten Lambertstrahler  Gesamtfluss = I_max * pi 
--> I_max = Gesamtfluss durch pi, also 1,27W auf der optischen Achse.

Damit solltest du doch jetzt klarkommen

[cableer (Gast)]

ach was Solls:

I(theta) = I_max * cos(theta)

-> Gesamtfluss Kollokator = 2 * Integral(I(theta)) für Theta von 
0...36,9

[Achim M. (minifloat)]

cableer schrieb:
> für Theta von 0...36,9

Wo ist der "halbe Öffnungswinkel" geblieben?

[Brüno (dominic_m833)]

cableer schrieb:
> also 1,27W auf der optischen Achse

Das kann nicht hinhauen, weil die optische Achse keine Fläche hat.

Die Beleuchtungsstärke [W/m^2] ist bei 36,9° nur noch cos(36,9°)=0,8 von 
der Beleuchtungsstärke auf Achse. Allerdings  ist die mit dieser 
Intensität bestrahlte Fläche des Kollektors zwischen 35,9° und 36,9° 
viel größer als zwischen 0° und 1°. Man müsste also die ab der optischen 
Achse abnehmende Beleuchtungsstärke über die Fläche des Kollektors 
integrieren.

[Brüno (dominic_m833)]

Wenn ich richtig liege, kann man mit der Apertur als Segment einer 
bestrahlten Kugel arbeiten. Dessen Oberfläche ist proportional zu 
1-cos(Alpha)+1/2sin^2(Alpha). Wie kriege ich das nun mit der mit 
cos(Alpha) annehmenden Intensität zusammen? Einfach multiplizieren, über 
90° entsprechend 4W
integrieren, über 36,9° entsprechend Apertur integrieren und dann 
Dreisatz? 🤓

[Achim M. (minifloat)]

Brüno schrieb:
> Wenn ich richtig liege, kann man mit der Apertur als Segment einer
> bestrahlten Kugel arbeiten

Oder der Kreisfläche als Projektion des gedachten Lichtstrahls als 
Gerade - mit der Intensität gemäß Lambert?

Man muss einmal entlang des Radius-Geradenstück dieses Kreises 
integrieren. Dann nochmal über den Winkel, den das Radius-Geradenstück 
beim rotieren überstreicht.

Ja was ich oben geschrieben hab war ein Brainfart.

mfg mf

[Achim S. (Gast)]

Brüno schrieb:
> Wenn ich richtig liege, kann man mit der Apertur als Segment einer
> bestrahlten Kugel arbeiten.

klingt gut

Brüno schrieb:
> Dessen Oberfläche ist proportional zu
> 1-cos(Alpha)+1/2sin^2(Alpha). Wie kriege ich das nun mit der mit
> cos(Alpha) annehmenden Intensität zusammen?

du musst für jedes (differentielle) Stückchen dA der Oberfläche die 
cos(alpha) Abhängigkeit reinsetzen und dann über den erfassten Teil der 
Oberfläche integrieren.

Ab besten geht es in Kreiskoordinaten (siehe dazu den Abschnitt 
"Projektion auf Fläche mit bekanntem Flächenelement" von

https://de.wikipedia.org/wiki/Oberflächenintegral )

das Flächenelement in Kreiskoordinaten beträgt

$$dA = 2 \pi r sin(\theta) d\theta d\phi$$

Das multipliziert mit mit der Lambertschen cos-Abhängigkeit ergibt

$$cos(\theta) dA = 2 \pi r cos(\theta) sin(\theta) d\theta d\phi$$

Den Ausdruck musst du über die gewünschte Oberfläche integrieren. Die 
Integration für phi läuft dabei einmal komplett im Kreis (0 - 2 pi) (da 
die Anordnung rotationssymmetrisch um die optische Achse ist).
Die Integration für theta läuft von 0 bis zum gewünschten Winkel

$$\int_{\phi = 0}^{\phi = 2\pi} \int_{\theta = 0}^{\theta = \theta max} 2 \pi r cos(\theta) sin(\theta) d\theta d\phi$$

Wenn du das bis theta_max=pi integrierst, deckt es den gesamten 
Lichstrom ab, der in den Halbraum emittiert wird. Wenn du nur bis zu dem 
theta_max integrierst, das sich aus der numerischen Apertur ergibt, dann 
den Bruchteil des Lichtstroms, der von der Linse erfasst wird. Aus dem 
Quotient beider Werte sollte also wohl rauskommen, welchen Anteil der 4W 
die Linse aufsammelt.

Ach ja, noch eine kleine Unterstützung. Da es keine phi Abhängigkeit 
gibt liefert das Integral über phi einfach den Vorfaktor 2 pi. Und für 
das Integral über theta gilt laut Bronstein:

$$\int_{}^{} cos(\theta) sin(\theta) d\theta = \frac{1}{2} sin^2(\theta)$$

Keine Garantie, dass das oben geschriebene stimmt. Aber nach meinem 
aktuellen Gefühl sollte das der richtige Lösungsweg sein (und auch nicht 
wesentlich einfacher zu berechnen sein...)

[Achim S. (Gast)]

Oh man, war ja klar, dass ich gleich im Ansatz einen Fehler mache: das 
differentielle Oberflächenelement in Kugelkoordination ist nicht

$$dA = r sin(\theta) d\theta d\phi$$

sondern

$$dA = r^2 sin(\theta) d\theta d\phi$$

Der Fehler zieht sich durch die gesamte folgende Rechnung...

[Brüno (dominic_m833)]

Danke für den Input, nur woher das r nehmen, und nicht stehlen?

[Achim S. (Gast)]

Brüno schrieb:
> Danke für den Input, nur woher das r nehmen, und nicht stehlen?

welches r wählst du denn für deinen optischen Aufbau (Abstand 
Lichtquelle zu Kollektor)?

Für die Berechnung des Quotienten (voller Halbraum im Verhältnis zum 
erfassten Halbraum) spielt der r^2-Term keine Rolle: das steht in Zähler 
und Nenner des Quotienten und kürzt sich raus. r spielt für das Ergebnis 
der Berechnung nur eine Rolle über die Festlegung des theta_max, bis zu 
dem du integrierst.

[Brüno (dominic_m833)]

Brüno schrieb:
> Dessen Oberfläche ist proportional zu 1-cos(Alpha)+1/2sin^2(Alpha)

Das war natürlich auch Quatsch. Wenn, dann muss ich das Differenzial 
davon nehmen, das mit cos(Alpha) multiplizieren und dann über Alpha 
integrieren. Wenn ich dann den Wert von 36,9° mit dem von 90° 
vergleiche, komme ich bei 41% raus. Das klingt erstmal realistisch..