Komplexe Darstellung einer harmonischen Schwingung

[Stromer (wiederunterspannung)]

Hallo,

die Rechenregeln von komplexen Zahlen sind mir eigentlich relativ gut 
bekannt, jedoch habe ich gerade ein Verständnisproblem bei der 
Darstellung eines periodischen Signals als Zeiger.

Beispiel:

c(t) = 2*cos(t + pi/4)

In der Darstellung als Zeiger würde das bedeuten, ich habe einen Zeiger 
mit Betrag 2, und einem Winkel von pi/4 von der positiven, realen Achse 
(1. Quadrant).

Wenn ich jetzt aber das gleiche Signal als Sinus darstelle:

s(t) = 2*sin(t + pi/4 + pi/2),

habe ich ja jetzt neu einen Phasenwinkel von 3*pi/4, somit wäre mein 
Zeiger mit Betrag 2 im 2. Quadrant.

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist es eigentlich ziemlich Wurst 
wie man es macht, da bei der Berechnung wichtig ist, welchen Winkel 
Spannung und Strom zueinander haben, also ob nun u mit 20° und i mit 30° 
oder u mit 110° und i mit 120° angegeben wird, keinen Einfluss hat.

Stimmt das so, oder liege ich da komplett falsch?

Dann hätte ich noch eine 2. Frage.

Folgende Spannung ist gegeben:

u(t) = 20*sin(t)

Komplex würde das bedeuten: Betrag 20 auf der realen X-Achse, also 20 + 
0i.
Die Momentanspannung bei t=0 wäre ja aber 0V. Was sagen mir die realen 
20 V nun aus? Meine Vermutung ist, es sagt mir gar nichts aus, da man 
das gar nicht vergleichen kann, weil u(t) reale Werte zu jedem Zeitpunkt 
darstellt und die Zeigerdarstellung ist nur eine abstrakte Darstellung, 
welche nichts mit der Zeit zu tun hat.

Liege ich damit richtig, oder hat das doch eine Aussage?

Sorry für den elend langen Text, und für die vielleicht für euch 
selbstverständlichen Fragen.

[A. S. (rava)]

in der Zeigerdarstellung ist cos an der x-Achse und sin an der y-Achse 
abzulesen.

Frage 2:

Pfeil geht bei t=0 nach rechts. y-Achse ist 0V.

Natürlich kannst du im Umkerhschluss zum Zeitpunkt t=0 nicht wissen, 
welche Amplitude das Signal hat, wenn du den Wert nicht gegeben hast. 
Dazu musst du warten, bis du den vollen Ausschlag gesehen hast. 
Zeigerdarstellung hin oder her.


Frage 1:

Wenn du das Signal umschreiben willst, kannst du natürlich 
argumentieren, dass der Zeiger jetzt in den 2. Quadrant zeigt. Dann 
musst du aber auch die y-Achse ablesen und nicht mehr die x-Achse 
ablesen - du interessierst dich ja jetzt für den Sinus.


kleiner Tipp: Anschaulicher wird es mit 15° oder 30° statt 45°. Dadurch 
hat man weniger verwirrende Symmetrien.

[Mohandes H. (Firma: مهندس) (mohandes)]

Stromer schrieb:
> u(t) = 20*sin(t)
> Komplex würde das bedeuten: Betrag 20 auf der realen X-Achse, also 20 +
> 0i.
> Die Momentanspannung bei t=0 wäre ja aber 0V. Was sagen mir die realen
> 20 V nun aus? Meine Vermutung ist, es sagt mir gar nichts aus ...

Mach's nicht so kompliziert. Bei t=0 ist natürlich jeder Sinus Null. 
Ansonsten: ein 'normaler' Sinus, jedoch mit der Amplitude von 20x statt 
1x (V oder A, je nachdem mit welcher Einheit die 20 verknüpft ist).

[Stromer (wiederunterspannung)]

A. S. schrieb:
> Wenn du das Signal umschreiben willst, kannst du natürlich
> argumentieren, dass der Zeiger jetzt in den 2. Quadrant zeigt. Dann
> musst du aber auch die y-Achse ablesen und nicht mehr die x-Achse
> ablesen - du interessierst dich ja jetzt für den Sinus.
>
> kleiner Tipp: Anschaulicher wird es mit 15° oder 30° statt 45°. Dadurch
> hat man weniger verwirrende Symmetrien.

Ich verstehe das jetzt nicht ganz, warum muss ich nun die y-Achse 
ablesen? Ein Punkt in der Gaußschen Ebene ist ja definiert durch den 
Realteil + Imaginärteil, bzw. durch Betrag und Phase. Wenn ich mein 
Signal in Sinus umschreibe, habe ich den gleichen Betrag, jedoch eine 
andere Phase. Wenn ich theoretisch gesehen nur die Darstellung in der 
Gaußschen Ebene bekomme, kann ich ja nicht nachvollziehen, ob das ein 
Sinus oder ein Cosinus ist.

Vielleicht verstehe ich dich auch komplett falsch. Ich frag mal so:

Welche Information habe ich mit s(t) = 2*sin(t + pi/4 + pi/2), die ich 
mit c(t) = 2*cos(t + pi/4) nicht habe?

[Christian S. (roehrenvorheizer)]

Stromer schrieb:
> Dann hätte ich noch eine 2. Frage.
>
> Folgende Spannung ist gegeben:
>
> u(t) = 20*sin(t)
>
> Komplex würde das bedeuten: Betrag 20 auf der realen X-Achse, also 20 +
> 0i.
> Die Momentanspannung bei t=0 wäre ja aber 0V. Was sagen mir die realen
> 20 V nun aus? Meine Vermutung ist, es sagt mir gar nichts aus, da man
> das gar nicht vergleichen kann, weil u(t) reale Werte zu jedem Zeitpunkt
> darstellt

Hallo,

soweit stimmt Deine Aussage. Die Formel zeigt eine Wechselspannung, die 
keinen imaginären Anteil enthält, also ohne Blindanteil ist, und Du 
damit nicht zum Augenarzt mußt. Andererseits ist das keine Darstellung 
für die komplexe Ebene, sondern rein eine Darstellung mit t auf der 
"waagrechten" Achse und der Spannung u(t) auf der "senkrechten" Achse. 
Du hast also unten drunter die falsche Ebene gelegt, nämlich nicht die 
komplexe, sonder eine Darstellung über der Zeit (Rechtshändiges 
kartesisches Koordinatensystem).

hier steht das nochmal, wie die Ingenieure das gerne sehen möchten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zeigermodell
"In der Wechselstromlehre betrachtet man..."


oder hier nochmal für Anfänger und solche, die es werden wollen:
https://www.elektroniktutor.de/fachmathematik/komplsin.html
da gelangt man auch ganz schnell zur Exponentialfunktion.

Stromer schrieb:
> Welche Information habe ich mit s(t) = 2*sin(t + pi/4 + pi/2), die ich
> mit c(t) = 2*cos(t + pi/4) nicht habe?

Die sind beide nicht komplex. Siehe oben. Falsche Ebene drunter gelegt.

mfg

[Stromer (wiederunterspannung)]

Hallo,

vielen Dank für die Nachricht.

Also, meine 2. Frage ist eigentlich geklärt, die komplexe Darstellung 
ist zeitunabhängig, somit macht der Versuch, die Spannung bei t=0 
abzulesen, gar keinen Sinn.

Die 1. Frage ist aber noch immer ungeklärt.

Christian S. schrieb:
> Stromer schrieb:
>> Welche Information habe ich mit s(t) = 2*sin(t + pi/4 + pi/2), die ich
>> mit c(t) = 2*cos(t + pi/4) nicht habe?
>
> Die sind beide nicht komplex. Siehe oben. Falsche Ebene drunter gelegt.

Ja, aber wenn ich die beide nun komplex darstellen würde, hätte ich für 
s_ Betrag = 2 und Winkel = 3pi/4, wenn ich aber c_ komplex darstellen 
würde, hätte ich Betrag = 2 und Winkel = pi/4. Somit habe ich eigentlich 
das gleiche Signal, aber zwei um pi/2 verschobene Zeiger.

Wenn ich also nur die komplexe Darstellung habe, ohne weitere Angaben, 
kann ich ja gar nicht wissen, ob bei der Darstellung in Funktion der 
Zeit ich jetzt den Sinus oder Cosinus nehmen muss.

Meine Vermutung: Es ist Konventionssache. Man muss vorher wissen, ob die 
Zeiger ursprünglich von einem Sinus oder von einem Cosinus kommen. Oder?

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Ja, genau, bei der "Transformation" einer harmonischen Zeitfunktion in 
eine komplexe Amplitude (oder einen Effektivwert) fallen Informationen 
weg.
1. Das Signal (die harmonische Zeitfunktion), z. B.

$$f(t) \ = \ A \cdot \cos (\omega \cdot t \ + \varphi) \ = \ A \cdot \sin (\omega \cdot t \ + \varphi \ + \frac{\pi}{2})$$

kann als Realteil des komplexen Signals

$$\underline{f}(t) \ = \ \ A \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot (\omega \cdot t \ \ +\varphi)}$$

oder gleichwertig als Imaginärteil von

$$\underline{f}(t) \ = \ \ A \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot (\omega \cdot t \ \ +\varphi \ +\frac{\pi}{2})}$$

 betrachtet werden.

2. Die komplexe Amplitude (oder der Effektivwert) ist

$${\underline F} \ = \ \frac{\underline{f}(t)}{ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot t}},$$

 worin keine Kreisfrequenz mehr enthalten ist.

Mit sochen komplexen Amplituden (oder Effektivwerten) kann dann komplex 
algebraisch gerechnet werden.

Für die "Rücktransformation" einer solchen komplexen Amplitude (bzw 
Effektivwertes) in eine harmonische Zeitfunktion müssen nun, wie Stromer 
erwähnte, die folgenden Informationen bekannt sein:

- Kreisfrequenz
- War A eine Amplitude oder wurde mit einem Effektivwert gerechnet?
- Wurde die Zeitfunktion als Real -oder Imaginärteil der komplexen 
Zeitfunktion betrachtet?

[Christian S. (roehrenvorheizer)]

Stromer schrieb:
> Somit habe ich eigentlich
> das gleiche Signal, aber zwei um pi/2 verschobene Zeiger.

Nein, das ergibt auf meinem wohltemperierten Taschenrechenr beides Mal 
das Gleiche.

Sin (0,75 * Pi) = 0,707 = 1/2 Wurzel aus 2

cos (0,25 * Pi) = 0,707 = 1/2 Wurzel aus 2

Du solltest unbedingt die in den Links angedeutete Mathematik studieren, 
lernen und so gut können, daß Du es dem Postboten beim Brief und Werbung 
einwerfen erklären kannst, bevor er wieder weg ist.

hier z.B die Taylorreihen kannst Du überspringen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus

Was der vorhergehende Schreiber da in schönen Formeln zeigt, bedingt 
aber das Verständnis seiner Schreibweisen. Und diese muß man erst mal 
kennen und verstehen, um die Aussage der angegebenen Formeln verstehen 
zu können.

mfg

[Stromer (wiederunterspannung)]

Christian S. schrieb:
> Stromer schrieb:
>> Somit habe ich eigentlich
>> das gleiche Signal, aber zwei um pi/2 verschobene Zeiger.
>
> Nein, das ergibt auf meinem wohltemperierten Taschenrechenr beides Mal
> das Gleiche.
>
> Sin (0,75 * Pi) = 0,707 = 1/2 Wurzel aus 2
>
> cos (0,25 * Pi) = 0,707 = 1/2 Wurzel aus 2
>
> Du solltest unbedingt die in den Links angedeutete Mathematik studieren,
> lernen und so gut können, daß Du es dem Postboten beim Brief und Werbung
> einwerfen erklären kannst, bevor er wieder weg ist.
>
> hier z.B die Taylorreihen kannst Du überspringen:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus
>
> Was der vorhergehende Schreiber da in schönen Formeln zeigt, bedingt
> aber das Verständnis seiner Schreibweisen. Und diese muß man erst mal
> kennen und verstehen, um die Aussage der angegebenen Formeln verstehen
> zu können.



Stopp. Es geht rein um die komplexe Darstellung. Natürlich sagt dir dein 
Taschenrechner, dass es das gleiche ist (hoffentlich auch!). Aber Wenn 
du die Winkel in der komplexen Ebene aufzeichnest, merkst du was ich 
meine.

Der vorgehende Schreiber hat es eigentlich sehr gut und verständlich 
erklärt. Wie schon anfangs erwähnt, bin ich mit der eigentlichen, 
anwendungsbezogenen Mathematik dahinter sehr gut vertraut. Er hat jedoch 
meine Frage verstanden und du anscheinend nicht.

[Stromer (wiederunterspannung)]

Xeraniad X. schrieb:
> Ja, genau, bei der "Transformation" einer harmonischen Zeitfunktion in
> eine komplexe Amplitude (oder einen Effektivwert) fallen Informationen
> weg.
> 1. Das Signal (die harmonische Zeitfunktion), z. B.
>

$$f(t) \ = \ A \cdot \cos (\omega \cdot t \ + \varphi) \ = \ A \cdot > \sin (\omega \cdot t \ + \varphi \ + \frac{\pi}{2}) >$$

> kann als Realteil des komplexen Signals
>

$$\underline{f}(t) \ = \ \ A \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot > (\omega \cdot t \ \ +\varphi)}$$

> oder gleichwertig als Imaginärteil von
>

$$\underline{f}(t) \ = \ \ A \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot > (\omega \cdot t \ \ +\varphi \ +\frac{\pi}{2})}$$

 betrachtet
> werden.
>
> 2. Die komplexe Amplitude (oder der Effektivwert) ist

$${\underline > F} \ = \ \frac{\underline{f}(t)}{ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \omega > \cdot t}},$$

 worin keine Kreisfrequenz mehr enthalten ist.
>
> Mit sochen komplexen Amplituden (oder Effektivwerten) kann dann komplex
> algebraisch gerechnet werden.
>
> Für die "Rücktransformation" einer solchen komplexen Amplitude (bzw
> Effektivwertes) in eine harmonische Zeitfunktion müssen nun, wie Stromer
> erwähnte, die folgenden Informationen bekannt sein:
>
> - Kreisfrequenz
> - War A eine Amplitude oder wurde mit einem Effektivwert gerechnet?
> - Wurde die Zeitfunktion als Real -oder Imaginärteil der komplexen
> Zeitfunktion betrachtet?

Danke für die verständliche Erklärung.

Wenn ich nun die Netzspannung z.B. definiere mit:

u(t) = 325*sin(w*t), wobei w = 2*pi*50Hz ist

und ich das in die komplexe Ebene transformieren wollen würde, würde das 
ja bedeuten, dass der Realteil 325 ist (oder 230, je nach dem, wie Du 
bereits erwähnt hat), und der Phasenwinkel phi = 0.

Das verstehe ich so jetzt auch nicht ganz, denn das würde ja bedeuten, 
dass mein u(t) den Imaginärteil widerspiegelt. Wie macht man das also in 
der Praxis? Würde man die Netzspannung einfach mit u(t) = 325*cos(w*t) 
definieren, dass wir wieder den Realteil haben?

[Christian S. (roehrenvorheizer)]

Stromer schrieb:
> Er hat jedoch
> meine Frage verstanden und du anscheinend nicht.

Genau, dafür bin ich zu blöd.

mfg

[Stromer (wiederunterspannung)]

Christian S. schrieb:
> Stromer schrieb:
>> Er hat jedoch
>> meine Frage verstanden und du anscheinend nicht.
>
> Genau, dafür bin ich zu blöd.
>
> mfg

Wenn du das sagst, wird es wohl so sein.

Cheers.

[Stromer (wiederunterspannung)]

Stromer schrieb:
> Das verstehe ich so jetzt auch nicht ganz, denn das würde ja bedeuten,
> dass mein u(t) den Imaginärteil widerspiegelt. Wie macht man das also in
> der Praxis? Würde man die Netzspannung einfach mit u(t) = 325*cos(w*t)
> definieren, dass wir wieder den Realteil haben?

Sorry, meinte natürlich u(t) = 325*cos(w*t - pi/2). Das würde ja 
bedeuten, der Realteil wäre 0 und zu beginn ansteigend, und der 
Imaginärteil wäre -325i und abfallend.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Ja, genau, falls der Bezug auf den Real -teil der komplexen 
harmonischen Zeitfunktion gewählt wird, ist es vorteilhaft, bei Bedarf 
zuvor einen gegebenen sin() nach cos() zu formen, wie Stromer 
demonstrierte.

$$u(t) \ = \ \hat{U} \cdot \sin(\omega \cdot t \ + \varphi) \ = \ \hat{U} \cdot \cos(\omega \cdot t \ +\varphi - \frac{\pi}{2}) \ = \ \mathrm{Re} ( \overbrace { \hat{U} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \lbrace \omega \cdot t \ +\varphi \ -\frac{\pi}{2} \rbrace } } ^ {{\underline u}(t)}).$$

Dann wird die komplexe Amplitude

$$\underline{U} \ = \frac{{\underline u}(t)}{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot\omega\cdot t}} \ = \ \ \hat{U} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \lbrace \varphi \ -\frac{\pi}{2}\rbrace}.$$

[Xeraniad X. (xeraniad)]

... und in der "Praxis" weiss niemand den exakten Einschaltzeitpunkt 
der harmonischen Quelle, und ausserdem sind Netzfrequenz und Amplitude 
auch nicht ideal konstant.

Jedoch: es gibt "beliebte" (z. T. aus dem Kontext gerissene) "Aufgaben", 
bei denen dann (nach komplexer Wechselstromrechnung) noch nach einer 
Zeitfunktion gefragt wird; manchmal gar ohne Angabe der (Netz? -) 
Frequenz. Je nach Alter der Aufgabe (< 1987 ?) darf man dann noch selbst 
raten, ob als Effektivwert 220 V oder 230 V anzunehmen sei (& nebenei 
angemerkt auch betreffs Frequenz {& Spannung} vermuten soll, auf welchem 
"Kontinent" man sich befindet); und ausserdem ist bei solchen "Aufgaben" 
konsequenterweise auch nicht klar, ob für die Quelle Bezug auf den Real 
-Teil oder der Imaginär -Teil genommen wurde.

Für (Schein -) Leistungsberechnungen wird üblicherweise der Effektiv 
-wert verwendet. Dies wäre jeweils auch noch, wie erwähnt wurde, bei 
Bedarf mit einem Faktor sqrt(2) zu berücksichtigen, falls z. B. nach 
einer Zeitfunktion gefragt wird.

[pamphlet]
Die komplexe Wechselstromrechnung ist ein Segen, ein Geschenk; 
ermöglicht sie uns doch die (komplexe, arithmetische, ohne 
Differentialgleichungen) Berechnung harmonischer Grössen in einem 
linearen Netzwerk.
Aufgabensteller kommen erfahrungsgemäss dann gerne spontan mit 
eingefrorenen Zeigern daher, um nach der Forderung betreffs 
Zeigerdiagrammen dennoch implizit nach Rücktransformation in den 
Zeitbereich zu fragen.
Das soll(te) wohl den zuvor noch motivierten Adepten etwas in die 
Schranken weisen, insbesondere weil die 3 genannten "geheimen" Parameter 
(Bezug auf cos oder sin, Frequenz, Effektiv oder Amplitude) teilweise 
{ebtl. historisch bedingt?} hämisch vorenthalten bleiben.
[/pam fleht]

Oh stimmt, in "meiner" Aufzählung der "vorborgenen", "geheimen" 
"Parameter" fehlt neben den 3 erwähnten Informationen (Bezug auf Re oder 
Im; Frequenz, "effektiv oder Amplitude) gilt es noch eine *4.* Angabe; 
zu erwähnen: "Wurde evtl. bei der harmonischen Quelle das phi nicht 
angegeben, und falls ja, wie wäre denn das, und sonst dürfen wir es als 
0 annehmen?".

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Also in eine zuvor erwähnte Liste der Vorzüge der komplexen 
Wechslestromrechnung gehörte noch die Anmerkung, dass da nur stationäre 
Zustände {bekannt auch als "nach Abklingen der Einschwingvorgänge"} 
dargestellt werden.
Danke @ z. B. Kennelly A. 1893

[Stromer (wiederunterspannung)]

Vielen herzlichen Dank für Deine ausführliche Antwort! Du hast mir nun 
klar gemacht, dass vieles (in der Realität) eigentlich gar nicht klar 
ist! :D

Nur noch etwas letztes (hoffentlich)....:

Nehmen wir an, gegeben ist eine Zeitfunktion, ein Sinus mit irgend einer 
Frequenz:

u(t) = sin(w*t)

Wenn Du das nun in die komplexe Ebene transformieren würdest, würdest du 
es nun als 1 + 0i darstellen, oder zuerst umschreiben in u(t) = cos(w*t 
- pi/2) und dann hinschreiben als 0 - i?

Und kann man sich eine Zeitfunktion (die ich z.B. messe) normalerweise 
als Realteil vorstellen, oder als Imaginärteil?

Sorry für die vielleicht blöde Fragerei, aber das Ganze macht mich echt 
verrückt....

[Xeraniad X. (xeraniad)]

... und gemäss meiner bescheidenen Ansicht {nach engagiertem Votum} sind 
die beiden von Dir dargestellten Wege völlig äquivalent (, obschon ich 
den Verdacht hege, dass da allgemein schon eine gewisse Tendenz betreffs 
Bezugnahme für den Realteil {cos()} wahrzunehmen ist).

[Stromer (wiederunterspannung)]

Herzlichen Dank!

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Liecht historisch, z. B.:
  https://web.iitd.ac.in/~shouri/eel101/docs/01457148.pdf
demgemäss schlug "Steinmetz" damals vor, {im Bereich der Elektrotechnik 
-Domäne, für die imaginäre Einheit} das Symbol "j" {anstelle "i"} 
anzuwenden {, vermutlich zwecks weiser Vermeidung einer ansonsten 
vorauszusehenden Kollision im Namensraum}.

[Kamil R. (kamil_rezer)]

Xeraniad X. schrieb:
> Liecht historisch, z. B.:
>   https://web.iitd.ac.in/~shouri/eel101/docs/01457148.pdf
> demgemäss schlug "Steinmetz" damals vor, {im Bereich der Elektrotechnik
> -Domäne, für die imaginäre Einheit} das Symbol "j" {anstelle "i"}
> anzuwenden {, vermutlich zwecks weiser Vermeidung einer ansonsten
> vorauszusehenden Kollision im Namensraum}.

Etwas OT aber evtl. interessant wie Feynman in seinen Lectures on 
Physics knapp und präzise den Zusammenhang zwischen komplexer Algebra 
und der Geometrie darstellt: 
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html, um dann in 
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_23.html einige Beispiele deren 
Anwendung in ET zu geben, ohne "j" zu verwenden. Ich nehmen mal an, dass 
wegen seines (übrigens herausragenden) Standartwerks manche Physiker 
immer noch "weigern" "j"-Schreibweise für komplexe Zahlen anzuerkennen - 
obwohl Feynman es dort doch angemerkt hat: "First, j is commonly used 
instead of i in electrical engineering, to denote −1−−−√. (After all, i 
must be the current!)" ;-).

[Stromer (wiederunterspannung)]

Kamil R. schrieb:
> Xeraniad X. schrieb:
>> Liecht historisch, z. B.:
>>   https://web.iitd.ac.in/~shouri/eel101/docs/01457148.pdf
>> demgemäss schlug "Steinmetz" damals vor, {im Bereich der Elektrotechnik
>> -Domäne, für die imaginäre Einheit} das Symbol "j" {anstelle "i"}
>> anzuwenden {, vermutlich zwecks weiser Vermeidung einer ansonsten
>> vorauszusehenden Kollision im Namensraum}.


Finde es witzig, dass unsere Dozenten, die Mathematiker/Physiker sind, 
das "i" benutzen, und die Dozenten die aus der Elektrotechnik kommen, 
das "j" verwenden. Aktuell kommt es bei mir vor, dass ich in der 
gleichen Aufgabe einmal das j und einmal das i verwende... Muss ich mir 
unbedingt abgewöhnen.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Ja, dies ist eine äusserst delikate Angelegenheit; wobei man den Komfort 
geniesst, zwischen "i", "j" & sqrt(-1) auswählen zu dürfen.
Jedoch, es kommt noch schlimmer: die Wurzel zuletzt hat {für die, welche 
es so sehen wollen} 2 Lösungen, was zu allem Überdrusse noch zu weiteren 
Ambiguitäten führen könnte, als hätten wir derer nicht schon allzu 
genug!
gar übel ;-)