Frequenzgang durch Übertragungsfunktion berechnen

[Katja F. (katja_f)]

Hallo an Alle,

ich bin neu hier und entschuldige mich schon mal, falls die Frage 
jemandem sehr trivial vor kommt.

Ich habe folgendes "Problem":

Ich habe bereits einen aktiven Bandpass mit Mehrfachgegenkopplung 
vorliegen, dieser soll die 3. Harmonische mit -20dB dämpfen, dafür ist 
er bereits ausgelegt. Nun soll ich es aber rechnerisch zeigen, dass er 
dies auch wirklich tut. Mir wurde gesagt, dass man es "ganz einfach" mit 
der Übertragungsfunktion machen kann. Damit komm ich allerdings 
überhaupt nicht zurecht.
Ich weiß, dass man für s_n = jw einsetzen muss. Aber was mach ich dann? 
und was ist w? Ist ja nicht dasselbe w wie w_r?

Ich bitte ganz dringend um Hilfe und danke schon mal!!

[Lutz V. (lvw)]

Du suchst also die Übertragungsfunktion?
Falls Du über keine einschlägige Literatur verfügst, kann ich diese Dir 
hier auch nennen, ABER: Dann muss man Deine Schaltung hier sehen, um die 
Benennung der Bauteile zu erkennen.
Und Du fragst wirklich nach der Bedeutung von "w" (genau: omega als 
Symbol für die Kreisfrequenz).

[Katja F. (katja_f)]

Erstmal danke für die Rückmeldung.
So in etwa sieht meine Schaltung aus.

Nein nein, ich suche nicht die Übertragungsfunktion. Ich habe diese 
bereits (auch als Bild meinem Beitrag hinzugefügt). Ich weiß nicht 
genau, wie ich damit nun berechnen soll, dass der Bandpass die 3. 
Harmonische mit -20dB dämpft. Und nein ich habe auch nicht nach der 
Bedeutung von "w" bzw. omega gefragt! Sorry, da hab ich meine Frage 
falsch ausgedrückt. Ich wollte wissen, was ich dafür einsetzen muss? 
Also w_r ist die Resonanzfrequenz, das weiß ich. Wenn ich aber jw für 
s_n einsetze --> welches omega nutze ich hier? Also ich suche den 
Frequenzgang, den man mit der Übertragungsfunktion irgendwie bestimmen 
soll.

[Lutz V. (lvw)]

Der Frequenzgang ist der Betrag der Übertragungsfunktion.
Das einfachste ist natürlich, wenn Du den simulieren würdest (PSpice 
oder LTSpice oder...).
Ansonsten (rechnerisch) setze doch einfach die dreifache 
Resonanz-Kreisfrequenz für s in die Ü-Funktion ein und bilde davon den 
Betrag, um die Forderung zu überprüfen. Das ist viel einfacher als für 
die gesamte Funktion den Betrag (Amplitudengang) zu finden.

[Robert K. (Gast)]

Katja F. schrieb:
> Also ich suche den
> Frequenzgang, den man mit der Übertragungsfunktion irgendwie bestimmen
> soll.

Du suchst nicht den gesamten Frequenzgang, sondern nur einen einzigen 
Punkt. Nämlich den Wert bei der 3. Harmonischen. Du setzt also w = 3w_r 
ein. (ich gehe mal davon aus, dass mit der 3. Harmonischen die 3. 
Harmonische von w_r gemeint ist.)

[Katja F. (katja_f)]

In der Simulation klappt es auch und ist natürlich einfacher, nur muss 
ich es auch rechnerisch zeigen.

Ein großes Danke, ich werde es so probieren.

[Mohandes H. (Firma: مهندس) (mohandes)]

Katja F. schrieb:
> welches omega nutze ich hier?

Vielleicht verstehe ich die Frage (auch) falsch, aber w (omega) ist doch 
die Kreisfrequenz w = 2•pi•f. Das ist die Variable, also die x-Achse. 
w_r = Resonanz.

A(sn) ist die Übertragungsfunktion der Schaltung. Wie sn definiert ist, 
geht aus der Abb. nicht hervor. Muß aber mit f oder w zusammenhängen, 
denn üblicherweise schreibt man A(f) oder A(w).

Dann als Ansatz:

A(w) = A(3•w_r) + 20dB

Vielleicht hilft dir das etwas weiter.

[Lutz V. (lvw)]

Noch ein kurzer Tipp zur überschlagsmäßigen Abschätzung, ob bzw. wie die 
Forderung (20 dB Dämpfung der 3-fachen Resonanzfrequenz) erfüllbar ist:
Das Bandpass-Filter 2. Ordnung hat links und rechts von wr einen Abfall 
von 20dB/Dekade (bzw. 6dB/Oktave). Das gilt aber - je nach Güte - erst 
"etwas weiter weg" von wr. Im engeren Bereich um wr ist es steiler.
Das bedeutet, dass bei der 4-Fachen Resonanzfrequenz wir eine 
Mindest-Dämpfung von 12 dB erwarten - je nach Güte aber natürlich 
deutlich mehr.
Die verlangten 20 dB beim dreifachen wr werden also - wenn überhaupt - 
wahrscheinlich nur relativ knapp erreicht werden.

Ganz WICHTIG  für die Auswertung:
Bei Tietze-Schenk sieht die Ü-Funktion etwas "gewöhnungsbedürftig" aus:
Er benutzt die normierte Frequenz sn=s/wr, womit also dann gilt:
sn*wr=s ... mit s=jw für die praktische Auswertung.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Setze folgendes in die Gleichungen 13.30 ein

$$\begin{align*} R_1&=R_3=R \\ R_2&=2R \\ \omega_\mathrm r&=2\pi f_\mathrm r \\ s_\mathrm n&=\mathrm j\omega_\mathrm n \end{align*}$$

dann noch die untere Gleichung (fᵣ) in die obere, und schon hast du die
(komplexe) Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von ωₙ.

Für R1, R2 und R3 kannst du natürlich auch die Zahlenwerte einsetzen,
das ist aber mehr Schreiberei und hier nicht erforderlich.

Für den Amplitudengang musst du jetzt nur noch den Betrag bilden, was
bei der einfachen Funktion nicht schwer ist. Hast du alles richtig
gemacht, erhältst du

$$|A(\omega_\mathrm n)|=\frac{\omega_\mathrm n}{\sqrt{1-\omega_\mathrm n^2+\omega_\mathrm n^4}}$$

ωₙ ist dabei ω/ωᵣ, also die auf die Resonanzfrequenz normierte Frequenz.
Mit ωₙ=1 erhältst du die Amplitude an der Resonanzfrequenz, mit ωₙ=3 die
der 3. Harmonischen. Wie man das Verhältnis aus beiden in dB umrechnet,
ist dir sicher bekannt.

Ich erhalte als Ergebnis -9,1dB was von den angegebenen -20dB ziemlich
weit weg liegt. Mögliche Ursachen für diese Diskrepanz:

- Ich habe die Aufgabe falsch verstanden.

- Ich habe mich verrechnet (wenig wahrscheinlich, da die Simulation das
  gleiche Ergebnis liefert).

- Die Aufgabenstellung enthält einen Fehler.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Katja F. schrieb im Beitrag #7433996:
> C-hater und was machst du so in deiner Freizeit? :D

Hassen, hassen, hassen ...

Jeder hat halt sein Hobby, und manche pflegen es so leidenschaftlich,
dass sie es sogar in ihrem Nick kundtun :D

[Lutz V. (lvw)]

Yalu X. schrieb:
>
> Ich erhalte als Ergebnis -9,1dB was von den angegebenen -20dB ziemlich
> weit weg liegt. Mögliche Ursachen für diese Diskrepanz:
>

Doch - das Ergebnis ist korrekt. Die Bandpass-Güte ist ja nur Q=1.
Also kann man bei der vierfachen Mittenfrequenz gerade mal 12 dB 
erwarten.

[Rainer W. (rawi)]

Katja F. schrieb:
> Ich habe bereits einen aktiven Bandpass mit Mehrfachgegenkopplung
> vorliegen, dieser soll die 3. Harmonische mit -20dB dämpfen

-20dB gegenüber was?
Geht es um 20dB Dämpfung gegenüber der Grundfrequenz/Bandmitte oder 
gegenüber dem Eingangssignal. Nur wenn die Transmission bei der 
Mittenfrequenz 1 ist, wären beide Betrachtungsweisen gleichwertig ;-)

Robert K. schrieb:
> Du suchst nicht den gesamten Frequenzgang, sondern nur einen einzigen
> Punkt.

Wenigstens sollte man sich vergewissern, dass diese Annahme stimmt.
Und schon ist man bei zwei Punkten.

[Katja F. (katja_f)]

Yalu X. schrieb:
> Setze folgendes in die Gleichungen 13.30 ein
>
>

$$> \begin{align*} > R_1&=R_3=R \\ > R_2&=2R \\ > \omega_\mathrm r&=2\pi f_\mathrm r \\ > s_\mathrm n&=\mathrm j\omega_\mathrm n > \end{align*} >$$

>

> dann noch die untere Gleichung (fᵣ) in die obere, und schon hast du die
> (komplexe) Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von ωₙ.
>
> Für R1, R2 und R3 kannst du natürlich auch die Zahlenwerte einsetzen,
> das ist aber mehr Schreiberei und hier nicht erforderlich.
>
> Für den Amplitudengang musst du jetzt nur noch den Betrag bilden, was
> bei der einfachen Funktion nicht schwer ist. Hast du alles richtig
> gemacht, erhältst du
>
>

$$> |A(\omega_\mathrm n)|=\frac{\omega_\mathrm n}{\sqrt{1-\omega_\mathrm > n^2+\omega_\mathrm n^4}} >$$

>
> ωₙ ist dabei ω/ωᵣ, also die auf die Resonanzfrequenz normierte Frequenz.
> Mit ωₙ=1 erhältst du die Amplitude an der Resonanzfrequenz, mit ωₙ=3 die
> der 3. Harmonischen. Wie man das Verhältnis aus beiden in dB umrechnet,
> ist dir sicher bekannt.

Guten Morgen!

Ich muss mich entschuldigen. Ich habe gedacht es gäbe eine allgemeine 
Lösung und habe das Bild vom Bandpass nur als Beispiel hochgeladen. Denn 
bei einem anders dimensionierten Bandpass (wenn R1 ungleich R3 usw. ist) 
funktioniert deine Lösung ja nicht mehr, jedenfalls bin ich scheinbar zu 
dumm dafür :/
In meinem Fall ist
R1 = 64,9k
R2 = 158k
R3 = 64,9k
Dieser Bandpass hat eine Güte von 5 und in der Simulation komm ich auch 
auf die -20dB.



C-hater schrieb im Beitrag #7434045:
> Trivialste Trivialitäten. Wer sowas auch nur zu fragen wagt, kann
> eigentlich nur ein Troll sein. Und wenn er sich dann auch noch "Katja
> F." nennt, ist der Troll-Versuch doch mehr als überdeutlich.

Ja scheinbar sind meine Matheskills nicht ausreichend, dass ich solche 
trivialen Fragen stellen muss, aber wenn nicht im Forum, wo denn dann?

Rainer W. schrieb:
> -20dB gegenüber was?
> Geht es um 20dB Dämpfung gegenüber der Grundfrequenz/Bandmitte oder
> gegenüber dem Eingangssignal.

Es geht um die Dämpfung gegenüber dem Eingangssignal :)

[Lutz V. (lvw)]

Rainer W. schrieb:
> Katja F. schrieb:
>> Ich habe bereits einen aktiven Bandpass mit Mehrfachgegenkopplung
>> vorliegen, dieser soll die 3. Harmonische mit -20dB dämpfen
>
> -20dB gegenüber was?
> Geht es um 20dB Dämpfung gegenüber der Grundfrequenz/Bandmitte oder
> gegenüber dem Eingangssignal. Nur wenn die Transmission bei der
> Mittenfrequenz 1 ist, wären beide Betrachtungsweisen gleichwertig ;-)
>

Vorschlag: Logisch überlegen, was Sinn macht.
Annahme: Eingang ist symm. Rechteck Puls mit der dritten Harmonischen, 
die etwa 9dB unter der Grundwelle fo liegt.
Diese 3. Harmonische f3 soll durch ein Filter um mindestens 20 dB 
gegenüber fo gedämpft am Ausgang erscheinen.
Dafür soll ein Bandpass eingesetzt werden.
Da das Ausgangssignal durch Reduzierung der Amplitude von f3 
"verbessert" werden soll, bleibt als einzig sinnvolle Interpretation 
doch nur die Reduzierung von f3 gegenüber fo am Ausgang des Filters - 
also in Bezug auf die Ausgangswelle fo - übrig, oder?
Dass "gefilterte" Spektrum am Ausgang soll doch die hier geforderten 
Eigenschaften aufweisen.

(Klar, im vorliegenden Fall mit der Mittenverstärkung von 0dB fällt der 
Unterschied weg - die Fragestellung ist aber doch auch von allgemeiner 
Bedeutung; jedenfalls wurde das hier ja als fehlende Info kritisiert)

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Katja F. schrieb:
> Denn bei einem anders dimensionierten Bandpass (wenn R1 ungleich R3
> usw. ist) funktioniert deine Lösung ja nicht mehr, jedenfalls bin ich
> scheinbar zu dumm dafür :/

Wenn die Widerstände krumme Werte haben:

Yalu X. schrieb:
> Für R1, R2 und R3 kannst du natürlich auch die Zahlenwerte einsetzen

Man kann das natürlich auch allgemein für beliebige R1, R2 und R3
ausrechnen, aber dann kommt bei der Bildung des Betrags der komplexen
Übertragungsfunktion ein ziemlich unhandlicher Term heraus.

Katja F. schrieb:
> In meinem Fall ist
> R1 = 64,9k
> R2 = 158k
> R3 = 64,9k
> Dieser Bandpass hat eine Güte von 5 und in der Simulation komm ich auch
> auf die -20dB.

Sicher, dass du diese Widerstandswerte richtig abgetippt hast? Mit den
von dir angegebenen Werten komme ich weder auf die -20dB noch auf eine
Güte von 5.

[Katja F. (katja_f)]

Nein, oh man natürlich hab ich da einen Fehler gemacht.

R2 = 1,62k

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Katja F. schrieb:
> R2 = 1,62k

Passt immer noch nicht. Mit welcher Formel hast du die Güte berechnet?
Mit der aus dem Tietze & Schenk?

[Wilhelm S. (wilhelmdk4tj)]

C-hater schrieb im Beitrag #7434045:
> Nur partiell. Ich hasse gundsätzlich nur C und Idioten. Alles andere in
> dieser Welt hasse ich nicht, jedenfalls nicht von Hause aus.

Ich stimme dir bzgl. C 100% zu, bei den Idioten liesse sich noch 
handeln. ;-)

73
Wilhelm

[Katja F. (katja_f)]

Oh wow ok, hab für komplette Verwirrung gesorgt, ich bin es selber 
scheinbar auch!
Ich habe zwei verschiedene Quellen, wo die Widerstände unterschiedlich 
beschriftet sind. Also nochmal von vorn:

R1 = 64,9k
R2 = 158k
R3 = 1,62k

Und ja, habe mit der Formel aus dem Tietze & Schenk gerechnet.

[Lutz V. (lvw)]

Katja F. schrieb:
> Oh wow ok, hab für komplette Verwirrung gesorgt, ich bin es selber
> scheinbar auch!
> Ich habe zwei verschiedene Quellen, wo die Widerstände unterschiedlich
> beschriftet sind. Also nochmal von vorn:
>
> R1 = 64,9k
> R2 = 158k
> R3 = 1,62k
>
> Und ja, habe mit der Formel aus dem Tietze & Schenk gerechnet.

Katja - ist es wirklich so schwer, den Bandpass mit den richtigen und 
aktuellen Werten hier zu zeigen? Zuvor hast Du ganz andere Zahlenwerte 
genannt, die zur Güte Q=1 führen. Jetzt plötzlich wieder neue 
Zahlenwerte.
Jetzt hab ich keine Lust mehr - und auch keine Zeit, um dauernd neu zu 
rechnen...sorry-

[Katja F. (katja_f)]

Hey ich glaube das ist hier alles auf freiwilliger Basis oder? Oder gibt 
es Geld oder sonstiges pro Antwort?

Sorry, ich weiß es war eine Verwirrung und auch alles sehr umständlich 
und ich bin auch dankbar für jede Hilfe aber wer keine Lust hat zu 
rechnen oder zu helfen oder was auch immer, dann fühl dich frei meinen 
Beitrag zu ignorieren.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Katja F. schrieb:
> R1 = 64,9k
> R2 = 158k
> R3 = 1,62k

Ah, so sieht das schon ganz anders aus. In deinem letzten Beitrag
schriebst du noch:

> R2 = 1,62k

Yalu X. schrieb:
> Man kann das natürlich auch allgemein für beliebige R1, R2 und R3
> ausrechnen, aber dann kommt bei der Bildung des Betrags der komplexen
> Übertragungsfunktion ein ziemlich unhandlicher Term heraus.

Das nehme ich zurück. Die allgemeine Berechnung erfordert auch nicht
viel mehr Schreiberei (halbe A4-Seite) als die Berechnung mit
eingesetzten Werten. In der heutigen Zeit bietet sich aber auch der PC
als Rechenhilfe an.

Das Ergebnis:

$$|A(\omega_\mathrm n)|=R_2\omega_\mathrm n\sqrt{\frac{R_3}{R_1(R_2(R_1+R_3)(\omega_\mathrm n^2-1)^2+4R_1R_3\omega_\mathrm n^2)}}$$

Bei ωₙ=3 ist die Dämpfung mit den obigen Widerstandswerten 20,8dB. Das
sagt auch die Simulation.

[Lutz V. (lvw)]

Yalu X. schrieb:
> Bei ωₙ=3 ist die Dämpfung mit den obigen Widerstandswerten 20,8dB. Das
> sagt auch die Simulation.

Gegenüber der Verstärkung bei fo=1kHz (etwa +2dB) gibt das dann sogar 
eine Unterdrückung von f3 um 22,8 dB.