Lineare Strecke in unendlichen Kreis abbilden - Schneckenparameter analysieren

[J. S. (engineer)]

Für ein Scannersystem habe ich vor Jahren eine Rotationsabbildung 
generiert, die einen Punkt mit möglichst hoher Geschwindigkeit über eine 
Fläche führen kann, weil die existente Lösung minderwertig war. Das habe 
ich aktuell wieder hervorgeholt, um die Vorschrift für ein darstellendes 
System zu nutzen. Es geht um die Erzeugung eines wachsenden Kreises, 
bzw. eines rotierenden Punktes.

Herausgekommen ist eine Schnecke, deren Punkte eine überraschend 
regelmässige Position besitzen. Es gibt mehrere Geraden durch die Punkte 
und obwohl es eine binäre Zahl ist, beginnen die Punkte 64, 128 und 256 
jeweils am Beginn eines Viertels.

Die sich aus der Bildungsvorschrift ergebenden Parameter sahen mir sehr 
verdächtig aus und intuitiv kam ich auf folgendes Resultat für 
äquidistante Punkte, die sich nicht überlappen und die Fläche 
gleichmässig füllen.

Die Frage ist nun, ist das Zufall oder Einbildung oder ist der 
Zusammenhang zwangsläufig?

Wer kennt sowas oder kennt Bildungsvorschriften für solche Fälle?

Ich habe mal recherchiert und nichts gefunden.

[J. S. (engineer)]

Ich habe es nun auch für ein 512er-System durchgespielt. Erstaunlich 
finde ich die optischen Wölbungseffekte, die entstehen, wenn man 
rechteckige Marker einsetzt. Dort setzt sich die Regelmässigkeit auch 
fort, allerdings ist der Startpunkt der 512 nicht mehr an einer 
Viertelbegrenzung. Also das scheidet als Regel erstmal aus.

Ich habe bei der Vorgabe von PI und der Eulerzahl ein wenig grosszügig 
gerundet und gefunden, dass die Schnecke minimal rotiert, wenn man 
exaktere Werte einsetzt. Ich bin jetzt nicht mehr so sicher, ob das 
deterministische Werte sind - jedenfalls, was die Regelmässigkeit 
gegenüber Binärzahlen angeht. Diese bedürfen einer Multiplikation, die 
geringfügig unterhalb des Wertes Pi*Pi/e liegt.

In jedem Fall eignet sich die so entstehende Schnecke schon mal als als 
Positionsvorgabe für eine entsprechende LED-Applikation, wer sowas 
braucht.

Wie man sie ins EAGLE reinkriegt, steht hier:
Beitrag "Re: EAGLE: Bauteile schneckenförmig platzieren"

[J. S. (engineer)]

Irgendwie wurde es nicht mit angehängt. Neuer Versuch.

[Johann L. (gjlayde)]

Gibt es denn Parameter, bei denen sich keine Geraden herausbilden und 
die Punkte "chaotisch" über die Kreisfläche verteilt sind?

[J. S. (engineer)]

Ja, freilich - man braucht nur genügend krumme Werte nehmen. Dann 
bekommt man aber nicht mehr das, was ich haben wollte. Der eigentliche 
Ansatz war, die Punkte so zu verteilen, dass sie praktisch in allen 
Richtungen äquidistant sind. Es geht da um die statistische 
Flächenabdeckung. Der Vortrieb im Radius pro Schleife muss also der 
anteiligen Kreisbogenlänge entsprechen. Dass das herzustellen sein muss, 
ist klar und dass dort Kreiszahlen auftauchen auch. Verwunderlich fand 
ich nur, dass ausgerechnet zu den binären Startwerten 90 Grad-Winkel 
getroffen worden zu sein schienen. Ausserdem ergaben sich die 
geradzahligen Durchlaufwerte für eine Runde zu 6,12,18,24 ,,,

Bezüglich der schönen mathematischen Zusammenhänge muss ich aber etwas 
zurückrudern- irgendwie scheint da ein kleiner Offset drinzustecken. Es 
kann aber auch sein, dass Excel den Sinus nicht richtig berechnet. Muss 
mal weiter probieren.

[Johann L. (gjlayde)]

Wie kommst du eigentlich auf die "krumme" Konstante?

$$\pi^2/e \;\approx\; 3.63$$

Wenn ich die Formel für die Überdeckung herleite, komme ich auf einen 
anderen Wert, nämlich

$$2\cdot\sqrt{\pi} \;\approx\; 3.54$$

Ich sehe echt keine Stelle, wo hier e ins Spiel käme...

[Johann L. (gjlayde)]

Habs mir nochmal angeschaut, die Parameter aus dem OP fallen komplett 
vom Himmel und scheinen schlicht und einfach geraten :-)

Für die optimale Überdeckung mit n quadratischen Kacheln der 
Kantenlänge h stellt sich die Kreisfläche A folgendermaßen dar:

$$A = \pi r^2 = n h^2$$

Somit gilt für den Raduis:

$$r(n) = \frac h\sqrt{\pi} \sqrt{n}$$

Für den Winkel gilt

$$\mathrm d\varphi = \frac hr = \sqrt\frac\pi n$$

und damit

$$\varphi(n) = \int_0^n \!\!\!\mathrm d\varphi = 2\sqrt\pi \,\sqrt{n}$$

Der Winkel ist also unabhängig von h, welches nur als Skalenfaktor 
agiert — ein größeres h wirkt wie ein Zoom.

Wie man am angehängten Bild sieht, ergeben die Kacheln keine geraden 
Linien.

[Johann L. (gjlayde)]

Leider funktioniert die SVG-Vorschau nicht korrekt :-(

[Johann L. (gjlayde)]

Wenn man den Faktor in phi(n) etwas vergrößert, ergeben sich hingegen 
Linien im Kachelmuster. Hier die Grafik für

$$\begin{align} r(n) &= \frac h\sqrt{\pi} \sqrt{n} \\ \varphi(n) &= \frac{2\pi}\sqrt{3} \sqrt(n) \end{align}$$

r ist wie im obigen Bild.

Die Linien sind dunkelbraun hervorgehoben.

Wegen

$$\frac 2\sqrt{3} \approx \frac\pi e$$

 ergeben sich auch in der OP Grafik Linien, die allerdings nicht 
komplett gerade sind.

[Johann L. (gjlayde)]

Hier die Grafik. mit 2 / sqrt{3}

[Johann L. (gjlayde)]

Hoer noch die Grafik mit phi(n) wie im OP, man erkennt wie sich die 
dunklen Linien leicht winden.

[Johann L. (gjlayde)]

Der Vollständigheit wegen hier noch die Herleitung des Parameters für 
die regelmäßige Anordnung der Punkte.

Bei der regelmäßigen Anordnung kommen pro Umlauf 6 Punkte hinzu. Für die 
Anzahl n bedeuted das:

$$n(\varphi+2\pi)-n(\varphi) \;\stackrel.=\; 6\frac\varphi{2\pi}$$

Wegen

$$\sum_{i=0}^n i = \frac n2(n+1)$$

ergibt sich für n

$$n \;=\; \frac62\cdot\frac\varphi{2\pi}\left(\frac\varphi{2\pi}+1 \right)$$

Vernachlässigung der Terme erster Ordnung und Umstellen nach φ bringt:

$$\varphi = \pi\frac2\sqrt 3\sqrt n$$

Die Punkte im OP liegen ähnlich, weil — warum auch immer — gilt

$$\frac \pi e \approx \frac2\sqrt3$$

Der andere Skalenfaktor bei r, nämlich 2/π anstatt 1/sqrt(π), bewirkt 
wie oben erklärt nur eine lockerere Anordnung der Punkte im Sinne eines 
Zoomfaktors.  Wegen

$$\frac2\pi \approx 0.63 \;>\; 0.56 \approx \frac1\sqrt\pi$$

sitzen die Punkte weiter auseinander als bei der optimalen Anordnung.

Anbei nochmal das Bild mit optimaler Anordnung der Punkte, jedoch so 
eingefärbt wie bei der regelmäßigen Anordnung.  Die braunen Linien sind 
zu Spiralarmen verzogen wegen

$$2\pi \neq 6$$

[J. S. (engineer)]

Johann L. schrieb:
> Habs mir nochmal angeschaut, die Parameter aus dem OP fallen komplett
> vom Himmel und scheinen schlicht und einfach geraten :-)

Ja und Nein, sie ergaben sich einst aus einer Optimierung für eine 
konkrete Anwendung. Dabei kommt es infolge der Vorwärtsbewegung zu einer 
optischen Verschmierung in Richtung der Schnecke und einer nur geringen 
Unschärfe zwischen den Bahnen i. A. der Belichtungszeit. Daher auch 
dies:

>sitzen die Punkte weiter auseinander als bei der optimalen Anordnung.

Die Parameter habe ich dann optisch eingestellt, soweit Excel das 
zuliess und spontan gesehen, dass sich scheinbar die o.g. Verhältnisse 
ergeben. Beim Ausprobieren entstand dann das erste Muster. Es war halt 
auffällig, dass ausgerechnet die Binärzahlen auf ganzzahligen 
90Grad-Stellen zu sietzen schienen. Das stammt allerdings für höhere 
Werte nicht mehr.

Und wie Du aufgezeigt hast, sehen die Werte für den mathematisch 
sauberen Fall der unendlichen Schnecke etwas anders aus.

Allerdings ergbenen sich dabei auch nur scheinbar perfekte Strukturen: 
Die Spiralen in Deinem untersten braunen Diagramm zeigen das Problem: 
Bei einem Umlauf von Spirale zu Spirale gibt es immer irgendwo einen 
Bruch. Verfolgt man z.B. die Abstände zwischen den jeweils 2.ten Punkten 
der dunkelbraunen Spiralarmen, so ist immer ein Abstand von 1 
dazwischen, aber links oben sind es 2. Wäre es nicht so, wäre es ja auch 
ein geschlossenes System aus Ringen.