Berechnung der Schaltung

[Fragender (Gast)]

Hallo

Bei der Fragestellung in der Schule komme ich leider nicht weiter.

Die Aufgabe lautet:
Berechnen und Simulieren Sie die folgende Schaltung.
Der Kondensator (ohne Beschaltung eines Widerstandes) lädt sich mit der 
gegebenen Stromquelle im Bild in ca. 47ms auf 5V auf. (Rechnen Sie nach)
Mit Zuschaltung eines Widerstandes soll Ladezeit auf 60ms erhöht werden. 
Wie gross muss der Widerstand R sein?

Mit der Formel Uc = 1/C i(t)*dt errechne ich die Zeit wie oben 
angegeben.
Die tatsächliche Ladung im Kondensator ist:
Qc = (Iq - Uc(t)/R)*t
Qc wäre wiederum C*Uc(t)
Nun muss ich irgendwie integrieren, da Uc(t) ja nicht konstant ist.
Wie geht es weiter?

[Helmut S. (helmuts)]

Einfach in die Ersatzschaltung umzeichnen. Dann versteht man das besser.

uc(t) = ...
Diese Formel für uc(t) steht in deinem Buch oder Skript. Noch besser ist 
es, wenn du diese Formel auswendig kennst.

Umstellen nach R

R = ...

47ms und 5V einsetzen

R = ...

[M. K. (sylaina)]

Oh, Hausaufgaben machen. Schaun wir mal, wenn du keinen Widerstand hast 
(R1 wäre also nicht da) dann gilt

$$I_{I1}=I_C=\frac{dQ}{dt}$$

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{dC}{dt} \cdot U_{t} + \frac{dU}{dt} \cdot C_{t}$$

Da ja C konstant ist vereinfacht sich der Spass schonmal ein wenig

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{dU}{dt} \cdot C$$

Und das ist ja einfach, hast du ja ausgerechnet mit 47ms
Mit dem R wird nun aber die Stromquelle nicht mehr Ideal sein denn nun 
hast du einen zeitabhängigen Strom. Aber an der Ladung ändert sich ja 
nix, es sollen ja immer noch die 5V erreicht werden und Spannung ist 
nunmal Ladungstrennungsarbeit. Und wenn du weißt wieviel Ladung du 
bewegen musst kannst du damit ausrechne wie groß der Strom in den 
Kondensator sein muss nach den 60 ms. Und der Strom, der dann noch nötig 
ist um auf die 5u zu kommen, muss natürlich durch den Widerstand ;)

Ich hoffe das hilft dir.

[Helmut S. (helmuts)]

1. Aufgabe
Beweisen, dass sich der Kondensator in 47ms auf 5V aulädt unter der 
Annahme, dass R fehlt.

Ladungsformel
Uc*C = I*t
5V*47*10^-9As/V = 5*10^(-6) *47*10^(-3)s
5*47*10^-9 As = 5*47*10^(-9s) As


2. Aufgabe
Durch hinzufügen von R soll die Ladezeit für 5V auf 60ms erhöht werden.

U0=I*R

uc(t) = U0*(1-e^(-t/(R*C))

uc(t) = I*R*(1-e^(-t/(R*C))

5V = 5uA*R*(1-e^(-60ms/(R*C))

10^6 = R -R*e^(-60ms/(R*C))
R = 10^6 + R*e^(-60ms/(R*C))

R = 10^6 + R*e^(-60ms/(R*(47*10-9)As/V))

Diese Gleichung lässt sich nur numerisch lösen.
R = 10^6 als Startwert nehmen.

Dann die Berechnung R = ..... immer wiederholen.
Das Ergebnis konvergiert zu ca. R=2,503*10^6 Ohm.

Mögliche Realisiering: 2,4MOhm (+100kOhm)

[Fragender (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Einfach in die Ersatzschaltung umzeichnen. Dann versteht man das
> besser.
>
> uc(t) = ...
> Diese Formel für uc(t) steht in deinem Buch oder Skript. Noch besser ist
> es, wenn du diese Formel auswendig kennst.
>
> Umstellen nach R
>
> R = ...
>
> 47ms und 5V einsetzen
>
> R = ...

Irgendwie klappt das bei mir nicht.
Der Maximalstrom, der fliesst ist Uv1/R. Das wiederum ist R*Iq = R*5uA/R 
= 5uA.

Uc(t) = 1/C * integral(i(c)*dt)
Uc lädt sich ja auf Uv1 auf
R*Iq = 1/C * integral(i(c)*dt)
R*Iq*C = integral(i(c)*dt)
ic(t) = Iq(t)
Iq(t) ist hier laut Ersatzschaltung nicht konstant
Das muss also Iq(t) = Io * e^-t/T sein, da der Strom so kleiner werden 
muss.
Sobald ich das einsetze kommt jedoch Unsinn heraus.

[Fragender (Gast)]

M. K. schrieb:
> Oh, Hausaufgaben machen. Schaun wir mal, wenn du keinen Widerstand
> hast
> (R1 wäre also nicht da) dann gilt
> II1=IC=dQdtI_{I1}=I_C=\frac{dQ}{dt}dQdt=dCdt⋅Ut+dUdt⋅Ct\frac{dQ}{dt} =
> \frac{dC}{dt} \cdot U_{t} + \frac{dU}{dt} \cdot C_{t}Da ja C konstant
> ist vereinfacht sich der Spass schonmal ein
> wenigdQdt=dUdt⋅C\frac{dQ}{dt} = \frac{dU}{dt} \cdot CUnd das ist ja
> einfach, hast du ja ausgerechnet mit 47ms
> Mit dem R wird nun aber die Stromquelle nicht mehr Ideal sein denn nun
> hast du einen zeitabhängigen Strom. Aber an der Ladung ändert sich ja
> nix, es sollen ja immer noch die 5V erreicht werden und Spannung ist
> nunmal Ladungstrennungsarbeit. Und wenn du weißt wieviel Ladung du
> bewegen musst kannst du damit ausrechne wie groß der Strom in den
> Kondensator sein muss nach den 60 ms. Und der Strom, der dann noch nötig
> ist um auf die 5u zu kommen, muss natürlich durch den Widerstand ;)
>
> Ich hoffe das hilft dir.

Gerechnet mit 60ms komme ich auf einen Strom von 4uA im Kondensator.
Dann müssen 1uA durch den Widerstand. Aber die Spannung über dem 
Widerstand ist ja auch nicht konstant..

Ich sehe irgendwie den Wald vor lauter Bäume nicht mehr.
Wahrscheinlich ist es eine einfache Aufgabe..

[Fragender (Gast)]

Helmut S. schrieb:

> U0=I*R
>
> uc(t) = U0*(1-e^(-t/(R*C))
>
> uc(t) = I*R*(1-e^(-t/(R*C))
>
> 5V = 5uA*R*(1-e^(-60ms/(R*C))
>
> 10^6 = R -R*e^(-60ms/(R*C))
> R = 10^6 + R*e^(-60ms/(R*C))
>
> R = 10^6 + R*e^(-60ms/(R*(47*10-9)As/V))
>
> Diese Gleichung lässt sich nur numerisch lösen.
> R = 10^6 als Startwert nehmen.
>
> Dann die Berechnung R = ..... immer wiederholen.
> Das Ergebnis konvergiert zu ca. R=2,503*10^6 Ohm.
>
> Mögliche Realisiering: 2,4MOhm (+100kOhm)

Diese Rechnung verstehe ich.
Danke vielmals

[Helmut S. (helmuts)]

Fragender schrieb:
> Ich sehe irgendwie den Wald vor lauter Bäume nicht mehr.
> Wahrscheinlich ist es eine einfache Aufgabe..

Nein.
Das ist leider keine einfache Aufgabe, weil man am Ende eine 
nichtlineare Gleichung hat die man mit einem numerischen Verfahren lösen 
muss. Wahrschinlich habe ich das schwächste Verfahren verwendet. Ich 
vermute da gibt es schneller konverigierende Verfahren.

[Fragender (Gast)]

Hallo Helmut

Ich habe versucht, deine Rechnung nachzurechnen.
Im Excel konvergiert das irgendwie gar nicht.
Was mache ich falsch?

[Helmut S. (helmuts)]

Vergleiche mal meine Formel mit deiner Formel.

R =
     1000000
>> R = 10^6+R*exp(-0.06/(R*47e-9))
R =
  1.2790e+006
>> R = 10^6+R*exp(-0.06/(R*47e-9))
R =
  1.4714e+006
>> R = 10^6+R*exp(-0.06/(R*47e-9))
R =
  1.6179e+006

u. s. w.

Siehe Anhang.

[Fragender (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Vergleiche mal meine Formel mit deiner Formel.
>
> R =
>      1000000
>>> R = 10^6+R*exp(-0.06/(R*47e-9))
> R =
>   1.2790e+006
>>> R = 10^6+R*exp(-0.06/(R*47e-9))
> R =
>   1.4714e+006
>>> R = 10^6+R*exp(-0.06/(R*47e-9))
> R =
>   1.6179e+006
>
> u. s. w.
>
> Siehe Anhang.

Vielen Dank Helmut

Könntest du mir noch verraten wie du das in deinem 1. Beitrag gemeint 
hast? (unten)

Helmut S. schrieb:
> Einfach in die Ersatzschaltung umzeichnen. Dann versteht man das
> besser.
>
> uc(t) = ...
> Diese Formel für uc(t) steht in deinem Buch oder Skript. Noch besser ist
> es, wenn du diese Formel auswendig kennst.
>
> Umstellen nach R
>
> R = ...
>
> 47ms und 5V einsetzen
>
> R = ...


Ebenso würde mich noch interessieren, wie M. K. (sylaina) das mit dem 
Strom durch R gemeint hat. So wie ich das deute, bringt mich das ja 
nicht zum Ziel oder?

[Helmut S. (helmuts)]

> > Einfach in die Ersatzschaltung umzeichnen. Dann versteht man das
> besser.

Man kann eine Schaltung bestehend aus Stromquelle und Parallelwiderstand 
in eine äquivalente Schaltung mit Spannungsquelle und dem gleichen 
Widerstand in Serie umwandeln.

Das gilt natürlich auch umgekehrt.
Man keine eine Schaltung bestehend aus Spannungsquelle und 
Serienwiderstand in eine äquivalente Schaltung mit Stromquelle und dem 
gleichen Widerstand parallel umwandeln.


> uc(t) = ...
> Diese Formel für uc(t) steht in deinem Buch oder Skript. Noch besser ist
> es, wenn du diese Formel auswendig kennst.

Uc(t) = U0*(1-e^(-t/tau))

mit tau = R*C


> umstellen nach R ...

Ich muss zugeben, dass ich an der Stelle noch nicht bedacht hatte, dass 
ich eine nichtlineare Gleichung habe. Das ist mir erst beim lösen der 
Aufgabe aufgefallen. Zum Glück hat das primitivste Iterationsverfahren 
gereicht.

Normalerweise ist ja U0 gegeben. In deiner Aufgabe war die 
Schwierigkeit, dass U0=I0*R ist und in der Zeitkonstante tau=R*C auch 
der unbekannte Widerstand R verwendet wird.

So eine Hausaufgabe hatte ich noch nie gesehen.

[student (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Ich muss zugeben, dass ich an der Stelle noch nicht bedacht hatte, dass
> ich eine nichtlineare Gleichung habe.

Jop, als E-Technik Stundent mit Prüfungen in 14 Tagen hat mir diese 
Aufgabe grad durchaus etwas Angstschweiß verpasst.

Totsimple Erstsemesteraufgabe würde man auf den ersten Blick meinen und 
dann kommt der Hirnknoten.

Danke dafür :P

[Fragender (Gast)]

>
> Uc(t) = U0*(1-e^(-t/tau))
>
> mit tau = R*C
>

> gereicht.
>
> Normalerweise ist ja U0 gegeben. In deiner Aufgabe war die
> Schwierigkeit, dass U0=I0*R ist und in der Zeitkonstante tau=R*C auch
> der unbekannte Widerstand R verwendet wird.
>
> So eine Hausaufgabe hatte ich noch nie gesehen.

Danke

[NichtsAlsDieWahrheit (Gast)]

student schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> Ich muss zugeben, dass ich an der Stelle noch nicht bedacht hatte, dass
>> ich eine nichtlineare Gleichung habe.
>
> Jop, als E-Technik Stundent mit Prüfungen in 14 Tagen hat mir diese
> Aufgabe grad durchaus etwas Angstschweiß verpasst.
>
> Totsimple Erstsemesteraufgabe würde man auf den ersten Blick meinen und
> dann kommt der Hirnknoten.
>
> Danke dafür :P

Ehm. Das ist wirklich nicht schwer. Also sowas sollte man aus dem 
Stehgreif hinkriegen inklusive Lösung der Differentialgleichung z.B. 
mittels Laplace-Trafo. Sonst bist du wirklich ein schäbiger E-Techniker!

[M. K. (sylaina)]

Helmut S. schrieb:
> uc(t) = U0*(1-e^(-t/(R*C))

Obacht, das R im Exponenten ist der Serienwiderstand vom Kondensator, 
als der Widerstand, den der Strom sieht, wenn er durch den Kondensator 
fließt. Der ist hier aber 0 Ohm, gesucht ist der Parallelwiderstand. ;)

Durch diese Fehlannahme kommst du nämlich darauf, dass sich die 
Gleichung nur nummerisch lösen lässt. Sie lässt sich aber auch 
analytisch lösen eben weil nicht der Serienwiderstand zum Kondensator 
gesucht ist um auf 60ms Ladezeit zu kommen sondern der 
Parallelwiderstand ;)

Fragender schrieb:
> Gerechnet mit 60ms komme ich auf einen Strom von 4uA im Kondensator.
> Dann müssen 1uA durch den Widerstand. Aber die Spannung über dem
> Widerstand ist ja auch nicht konstant..

Richtig, die Spannung ist nicht konstant. Beachte dabei die Ladekurve 
des Kondensators ;)

[student (Gast)]

NichtsAlsDieWahrheit schrieb:
> Also sowas sollte man aus dem Stehgreif hinkriegen inklusive Lösung der
> Differentialgleichung z.B. mittels Laplace-Trafo. Sonst bist du wirklich
> ein schäbiger E-Techniker!

Nö, wieso? Die entsprechende Prüfung ist 3 Semester her und ich habe 
seit dem keine Differentialgleichungen mehr gebraucht, natürlich kann 
ich das NICHT mehr aus dem Stegreif.

Der Punkt ist aber auch ein ganz anderer, nämlich dass die 
Aufgabenstellung so simpel wirkt, als müsste man den Ausdruck für R im 
Kopf herstellen können.

[M. K. (sylaina)]

student schrieb:
> Nö, wieso? Die entsprechende Prüfung ist 3 Semester her und ich habe
> seit dem keine Differentialgleichungen mehr gebraucht, natürlich kann
> ich das NICHT mehr aus dem Stegreif.

Ich hab auch keine Differentialgleichung gebraucht für die Analytische 
Lösung sondern eine Integral-Gleichung. Nach Lösen der ersten Aufgabe 
ist ja die Ladung bekannt, die auf den Kondensator drauf muss. Jetzt 
muss man nur wissen, welcher Strom in den Kondensator nach 60ms fließt. 
Das lässt sich mit

$$I_t = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

ausrechnen. Das Problem hier ist nun, dass It und tau unbekannt sind. 
Aber die Ladung ist bekannt und den Strom über die Zeit integrieren 
ergibt die Ladung oder anders gesagt: Die Fläche zwischen der 
Stromladekurve und der Abszisse ist die Ladung. Man muss also nur den 
Strom über die Zeit integrieren:

$$Q = \int{I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}dt$$

Da Q aus der ersten Aufgabe gegeben ist ist hier nur noch tau unbekannt, 
hier kann man also tau ausrechnen und damit dann auch den Strom 
ausrechnen, der nach 60 ms fließt und damit lässt sich dann R 
ausrechnen. Ich hab da von gestern noch 2.47 Megohm in Erinnerung für 
den R.

[Bernd (Gast)]

Ich hatte so eine ähnliche Aufgabe auch mal in einer Klausur. Genau weiß 
ich auch nicht mehr wie die Lösung war. Ist auch zu lange her. Aber 
woran ich mich noch erinnere ist, dass des Rätsels Lösung war den Strom 
vor das Integral zu ziehen weil er ja konstant ist und somit auch im 
Integral vor das Integralzeichen gezogen werden kann.

Wenn das totaler Blödsinn ist dann vergesst den Beitrag, wenn nicht hat 
es ja vielleicht etwas geholfen bei der Lösung :-)

[Fragender (Gast)]

M. K. schrieb:
> student schrieb:
>> Nö, wieso? Die entsprechende Prüfung ist 3 Semester her und ich habe
>> seit dem keine Differentialgleichungen mehr gebraucht, natürlich kann
>> ich das NICHT mehr aus dem Stegreif.
>
Man muss also nur den
> Strom über die Zeit integrieren:
> Q=∫I0⋅e−tτdtQ = \int{I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}dt



Q=∫I0⋅e−tτdtQ = \int{I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}dt -->
Q= T \cdot I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}
C \cdot Uc/I_0 = R \cdot C \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}=
frac{Uc}{I_0} = R \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}

Ich kann es nun wieder nicht nach R auflösen? Wo ist mein Fehler?

[M. K. (sylaina)]

Fragender schrieb:
> Ich kann es nun wieder nicht nach R auflösen? Wo ist mein Fehler?

Mit Hilfe der Lambert'schen Funktion tau ausrechnen, dann kannst du auch 
R ausrechnen. ;)

EDIT: Ich hab mir auch grad mal deine Gleichung in Latex-Interpreter 
gepackt damit ich die besser lesen kann. Die sieht ziemlich konfus aus, 
hast du R duch Uc/I0 ersetzt? Das wäre auf jeden Fall nicht richtig.

[Helmut S. (helmuts)]

M. K. schrieb:
> Fragender schrieb:
>> Ich kann es nun wieder nicht nach R auflösen? Wo ist mein Fehler?
>
> Mit Hilfe der Lambert'schen Funktion tau ausrechnen, dann kannst du auch
> R ausrechnen. ;)
>
> EDIT: Ich hab mir auch grad mal deine Gleichung in Latex-Interpreter
> gepackt damit ich die besser lesen kann. Die sieht ziemlich konfus aus,
> hast du R duch Uc/I0 ersetzt? Das wäre auf jeden Fall nicht richtig.

Von der lambertschen Funktion habe ich schon mal den Namen gehört. Bitte 
mal vorrechnen mit untenstehender Funktion.

R = 10^6Ohm + R*e^(-60ms/(R*C))




Die Herleitung der Gleichung:
t1=60ms, I0=5uA, C=47nF

Ic+Ir = I0
Ic = I0 -Ir
Ic = I0 -5V/R

Ic(t1) = I0*e^(-t1/tau)
I0 -5V/R = I0*e^(-t1/tau)
I0*R = 5V+I0*R*e^(-t1/tau)
R = 5V/I0 +R*e^(-t1/tau)
R = 10^6Ohm + R*e^(-60ms/(R*C))
-------------------------------

[Fragender (Gast)]

M. K. schrieb:
> Fragender schrieb:
> Ich kann es nun wieder nicht nach R auflösen? Wo ist mein Fehler?
>
> Mit Hilfe der Lambert'schen Funktion tau ausrechnen, dann kannst du auch
> R ausrechnen. ;)
>
> EDIT: Ich hab mir auch grad mal deine Gleichung in Latex-Interpreter
> gepackt damit ich die besser lesen kann. Die sieht ziemlich konfus aus,
> hast du R duch Uc/I0 ersetzt? Das wäre auf jeden Fall nicht richtig.

Q ist ja UcxC

Das kann ich wiederum mit dem C aus Tau vom Lösen des Integrals kürzen.
Siehe Bild

Letztendlich muss ich es doch so wie Helmut lösen

Helmut S. schrieb:
> M. K. schrieb:
> Fragender schrieb:
> Ich kann es nun wieder nicht nach R auflösen? Wo ist mein Fehler?
>
> Mit Hilfe der Lambert'schen Funktion tau ausrechnen, dann kannst du auch
> R ausrechnen. ;)
> EDIT: Ich hab mir auch grad mal deine Gleichung in Latex-Interpreter
> gepackt damit ich die besser lesen kann. Die sieht ziemlich konfus aus,
> hast du R duch Uc/I0 ersetzt? Das wäre auf jeden Fall nicht richtig.
>
> Von der lambertschen Funktion habe ich schon mal den Namen gehört. Bitte
> mal vorrechnen mit untenstehender Funktion.
> R = 10^6Ohm + R*e^(-60ms/(R*C))
>
> Die Herleitung der Gleichung:
> t1=60ms, I0=5uA, C=47nF
>
> Ic+Ir = I0
> Ic = I0 -Ir
> Ic = I0 -5V/R
>
> Ic(t1) = I0*e^(-t1/tau)
> I0 -5V/R = I0*e^(-t1/tau)
> I0*R = 5V+I0*R*e^(-t1/tau)
> R = 5V/I0 +R*e^(-t1/tau)
> R = 10^6Ohm + R*e^(-60ms/(R*C))
> -------------------------------

Das ist ja das gleiche wie du vorher mit Uc gerechnet hast. Das führt 
doch auf das Selbe Ergebnis, Helmut. Deine Rechnung stimmt ja auch. Ich 
verstehe immer noch nicht was der Unterschied zum Integral sein soll und 
was das Serie R im Tau des Exponents auf sich hat

[Helmut S. (helmuts)]

Fragender schrieb:
> Das ist ja das gleiche wie du vorher mit Uc gerechnet hast. Das führt
> doch auf das Selbe Ergebnis, Helmut. Deine Rechnung stimmt ja auch. Ich
> verstehe immer noch nicht was der Unterschied zum Integral sein soll und
> was das Serie R im Tau des Exponents auf sich hat

Hat irgend einer von denen die Berechnung zu Ende geführt? Nein!
Die haben nur heiße Luft verbreitet und immer an der Stelle aufgehört zu 
rechnen bei der es interessant wird.

[Georg (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Fragender schrieb:
>> Das ist ja das gleiche wie du vorher mit Uc gerechnet hast. Das führt
>> doch auf das Selbe Ergebnis, Helmut. Deine Rechnung stimmt ja auch. Ich
>> verstehe immer noch nicht was der Unterschied zum Integral sein soll und
>> was das Serie R im Tau des Exponents auf sich hat
>
> Hat irgend einer von denen die Berechnung zu Ende geführt? Nein!
> Die haben nur heiße Luft verbreitet und immer an der Stelle aufgehört zu
> rechnen bei der es interessant wird.

Genau! Lass Dich nicht verwirren, denn das tau im Exponent hat hier 
nichts mit dem Serienwiderstand des Kondensators zu tun!
Die Leute, die das behaupten haben sich von der Einfachheit der 
Schaltung (die man aber nur im ersten Moment vermutet) hinters Licht 
führen. Jede der genannten Ansätze für am Ende wieder auf die 
nicht-lineare Gleichung wie oben genannt:

R*I*(1 - exp(-t1 / (R*C)) = U1

mit:
I = 5uA
U1 = 5V
t1 = 60ms
C = 47nF

Man muss diese Gleichung dann irgendwie nach R auflösen und das geht 
nicht so einfach..... Numerisch, z.B. mit Octave kommt man dann auf R = 
2.5030MegOhm, wie oben schon genannt.

[Georg M. (g_m)]

Fragender schrieb:
> Ich habe versucht, deine Rechnung nachzurechnen.
> Im Excel konvergiert das irgendwie gar nicht.

Excel ist powerful.

[M. K. (sylaina)]

Helmut S. schrieb:
> Hat irgend einer von denen die Berechnung zu Ende geführt? Nein!
> Die haben nur heiße Luft verbreitet und immer an der Stelle aufgehört zu
> rechnen bei der es interessant wird.

Also ich hab da aufgehört weil das ziemlich viel Schreibarbeit ist. 
Nimmt man die Lambert'sche Funktion komplett weil man nicht weiß, wo die 
Lösung ist, hast du recht, dann muss man das numerisch lösen. Hier 
wissen wir aber, dass die Lösung > 0 rauskommen muss und dann 
vereinfacht sich auch die Lambert'sche Funktion wobei man ja weiß, dass 
der gesuchte Wert > 0 sein muss (hab noch keinen negativen, ohmische 
Widerstand gesehen) wodurch die Lambert'sche Funktion analytisch durch 
ihre Potenzreihe beschrieben werden kann:

W(x)=∑k=1∞(−1)k−1⋅kk−2(k−1)!⋅(x)

Die nummerische Lösung führt auch schneller zum Ziel, das will ich auch 
nicht abstreiten. Aber von heißer Luft kann man hier echt nicht reden

[Helmut S. (helmuts)]

Ich habe mir gerade mal die vorgeschlagene Lambertsche Funktion 
angeschaut.
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

Zitat aus dem Link:
Die W-Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden.

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der 
Beziehung ...(Iteration)... berechnet werden.

Na prima. Iterationen haben wir auch gemacht.
Alternativ müsste man also eine Tabelle der W-Funktion haben um damit 
den Näherungswert zu interpolieren. Für ein paar wenige "besondere 
Zahlen" gibt es einen exakten Wert.
W(e)=1, W(-1/e)=-1, W(-ln(2)/2)=-ln(2)

Fazit: Die Lambertsche W-Funktion bringt uns hier keine geschlossene 
Lösung, weil auch da iteriert werden muss.

[Fragender (Gast)]

Helmut S. schrieb:

Georg M. schrieb:

Danke euch

[Helmut S. (helmuts)]

M. K. schrieb:
> W(x)=∑k=1∞(−1)k−1⋅kk−2(k−1)!⋅(x)

Dann bitte mal mit der Gleichung vorrechnen. Wir haben hier eine 
konkrete Aufgabe. Nicht immer nur Trivialbeispiele zitieren.

R = 10^6Ohm + R*e^(-60ms/(R*C))

[M. K. (sylaina)]

Ich nehm mal, wenns genehm ist, meinen Ansatz, da ich deinen Ansatz 
nicht genau nachvollzogen haben und er mir auf Anhieb auch komplexer 
erscheint. However, wir hatten also

$$Q=\int{I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}$$

Q kennen wir ja, Integral in den Grenzen 0-60ms kann man ja mal eben 
auflösen, kommt raus

$$U_{60ms} \cdot C = -\frac{1}{\tau}\cdot I_0 \cdot e^{-\frac{60ms}{\tau}}$$

Und da mit Brüchen Rechnen doof ist substituieren wir ein wenig

$$x=-\frac{1}{\tau}$$

und schicken I0 noch auf die andere Seite

$$\frac{U_{60ms}\cdot C}{I_0}=x\cdot e^{x\cdot 60ms}$$

Und hier steigen wir mit der Lambertschen Funktion ein, eigentlich 
müssten wir die Potenzen von 1 bis unendlich laufen lassen, aber lassen 
wir sie nur mal bis 5 laufen und brechen dann ab (bis unendlich kann eh 
niemand summieren) kommen wir auf ein Tau von ungefähr 115 ms. Kann man 
jetzt oben einsetzen in die Exponetialfunktion und dann I und 
schließlich R ausrechnen. Probier ich mal eben:

$$I_{60ms} = I_0 \cdot e^{-\frac{60ms}{115ms}}$$

Mit 5uA für I0 dürfte da so Pi mal Daumen ein Strom in den Kondensator 
von 2.96 uA rum kommen, d.h. in den Widerstand müssen noch 2.03 uA 
fließen und somit müsste R ca. 2.45 MΩ groß sein bei einer Spannung von 
5V.

Genauer wirds, wenn man ein paar Summanden mehr bei der Lambertschen 
Funktion mitnimmt. Das ist eine Lösung ganz ohne itterieren nur mit 
summieren. Nur die 5 (und mehr) Summanden der Lambertschen Funktion ist 
nen ganz schöner Rattenschwanz und macht die Sache doch sehr 
unübersichtlich, aber ganz ehrlich: Das ist ausschließlich ne 
Fleißarbeit zu der ich hier grad keinen Bock habe sie für die Faulenzer 
schön in Latex-Code reinzuhacken. Mir war ja jetzt eigentlich schon das 
hier zu viel Arbeit.

[Helmut S. (helmuts)]

> Nur die 5 (und mehr) Summanden der Lambertschen Funktion ist
nen ganz schöner Rattenschwanz und macht die Sache doch sehr
unübersichtlich, aber ganz ehrlich: Das ist ausschließlich ne
Fleißarbeit

Genau das wäre aber das Interessante um zu sehen, wie aufwenig das ist 
verglichen mit der von mir benutzten simplen Iterationsmethode. Also 
bitte mal die komplette Lösung und nicht schon wieder eine Abkürzung an 
der interessantesten Stelle.

[Carlo (Gast)]

Anderer Versuch ...
In Wolfram Alpha
Q=Integral (I0*e^(-t/T))  eintragen

[M. K. (sylaina)]

Helmut S. schrieb:
> Genau das wäre aber das Interessante um zu sehen, wie aufwenig das ist
> verglichen mit der von mir benutzten simplen Iterationsmethode. Also
> bitte mal die komplette Lösung und nicht schon wieder eine Abkürzung an
> der interessantesten Stelle.

Dir ists jetzt echt zu schwer die Lambertsche Funktion für die ersten 
5-10 Summanden mal hinzuschreiben? Echt jetzt? Also ich rede jetzt von 
einem

$$W_{x}=\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{(-n)^{n-1}}{n!}}\cdot x^n$$

und den Spass für die ersten 5-10 Summanden...wirklich jetzt?

Okey, für nur 5 Summanden schauts dann so aus:

$$W_{x}={\frac{(-1)^{0}}{1!}}\cdot x^1 + {\frac{(-2)^{1}}{2!}}\cdot x^2 + {\frac{(-3)^{2}}{3!}}\cdot x^3 + {\frac{(-4)^{3}}{4!}}\cdot x^4 + {\frac{(-5)^{4}}{5!}}\cdot x^5$$

Also das ist doch nicht schwer...da verstehe ich grad nicht wo das 
Problem sein soll?

[Helmut S. (helmuts)]

Carlo schrieb:
> Anderer Versuch ...
> In Wolfram Alpha
> Q=Integral (I0*e^(-t/T))  eintragen

Für dieses einfache Integral benötigt man kein Programm.
Auch mit diesem Ansatz kommt man zu der Gleichung siehe unten.

R = 5V/I0 +R*e^(-t1/(R*C))

[Carlo (Gast)]

confirmado como probado

[Georg (Gast)]

$$R = \dfrac{1}{\frac{I_0}{U_1} + \frac{C}{t_1}W_0\left( -\frac{I_0}{U_1} \frac{t_1}{C} \exp\left( -\frac{t_1}{C} \frac{I_0}{U_1} \right) \right)}$$

. Kann man das noch irgendwie vereinfachen?

[Fragender (Gast)]

M. K. schrieb:
> Ich nehm mal, wenns genehm ist, meinen Ansatz, da ich deinen
> Ansatz
> nicht genau nachvollzogen haben und er mir auf Anhieb auch komplexer
> erscheint. However, wir hatten also
> Q=∫I0⋅e−tτQ=\int{I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}
> Q kennen wir ja, Integral in den Grenzen 0-60ms kann man ja mal eben
> auflösen, kommt raus
> U60ms⋅C=−1τ⋅I0⋅e−60msτU_{60ms} \cdot C = -\frac{1}{\tau}\cdot I_0 \cdot


Integral von e^(..) ergibt doch -T*e^(..),
das oben ist doch die Ableitung

[Helmut S. (helmuts)]

Georg schrieb:
>

$$R = \dfrac{1}{\frac{I_0}{U_1} + \frac{C}{t_1}W_0\left( -\frac{I_0}{U_1} \frac{t_1}{C} \exp\left( -\frac{t_1}{C} \frac{I_0}{U_1} \right) \right)}$$

.
> Kann man das noch irgendwie vereinfachen?

Danke Georg.

R0 = U/I0 = 5V/5uA
R0 = 1MegOhm
t1 = 60ms
C = 47nF
t0 = R0*C = 47ms

R = 1/( 1/R0 + (1/R0)*(t0/t1)*W0((-t1/t0)*exp(-t1/t0)) )
R = R0/( 1 + (t0/t1)*W0((-t1/t0)*exp(-t1/t0)) )

R = R0/( 1 + (47ms/60ms)*W0(-0.35615160424174) )

W0 mit dem online Calculator von WolframAlpha berechnen
R = 1MOhm /( 1 + (47/60)*(-0.76657156471) )

R = 2,503010239 MOhm


https://www.wolframalpha.com/input/?i=lambertw%28-0.35615160424174%29
Ergebnis: -0.76657156471

[Fragender (Gast)]

Georg schrieb:
> R=1I0U1+Ct1W0(−I0U1t1Cexp(−t1CI0U1))R = \dfrac{1}{\frac{I_0}{U_1}
> + \frac{C}{t_1}W_0\left( -\frac{I_0}{U_1} \frac{t_1}{C} \exp\left(
> -\frac{t_1}{C} \frac{I_0}{U_1} \right) \right)}. Kann man das noch
> irgendwie vereinfachen?

Wie kommt man auf, die Mördergleichung und was ist W0

[Georg (Gast)]

Anbei mal die gesamte Rechnung, ohne irgendwelche Kürzungen. Ist nicht 
kompliziert. W_0 ist der "obere" Zweig der Lambertsche W-Funktion, siehe 
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

Konkret in der Rechnung habe ich das hier benutzt: 
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion#Verallgemeinerungen

[Georg (Gast)]

Es ist ein PDF mit zwei Seiten, Achtung!

[Helmut S. (helmuts)]

Fragender schrieb:
> Georg schrieb:
>> R=1I0U1+Ct1W0(−I0U1t1Cexp(−t1CI0U1))R = \dfrac{1}{\frac{I_0}{U_1}
>> + \frac{C}{t_1}W_0\left( -\frac{I_0}{U_1} \frac{t_1}{C} \exp\left(
>> -\frac{t_1}{C} \frac{I_0}{U_1} \right) \right)}. Kann man das noch
>> irgendwie vereinfachen?
>
> Wie kommt man auf, die Mördergleichung und was ist W0

Im Prinzip die gleiche Vorgehensweise wie Georg es auf der 2. Seite 
beschrieben hat. Er hat es mit weniger Zeilen geschafft. Dafür habe ich 
ein paar nette Abkürzungen eingeführt; R0, t0 und t1.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

Die Funktion auf die im Kapitel Verallgemeinerungen gezegte Form 
bringen.
x ist 1/R

e^(-cx) = a0*(x-r)
x = r + (1/c)*W((c*e^(-c*r))/a0)

Jetzt muss man mittels Koeffizientenvergleich c, r und a0 berechnen.

R = (U0/I0) + R*e^(-t1/(R*C))

1 = (U0/I0)/R + e^(-t1/(R*C)

e^(-t1/C*1/R) = 1 -(U0/I0)*1/R

e^(-t1/C*1/R) = -U0/I0*(1/R-I0/U0)

c = t1/C
a0 = -U0/I0
r = I0/U0
x = 1/R

x = r + (1/c)*W((c*e^(-c*r))/a0)

1/R = I0/U0 +(C/t1)*W(((t1/C)*e^(-(t1/C)*(I0/U0))/(-U0/I0))

R0 = U0/I0

1/R = 1/R0 +(C/t1)*W(-(t1/(C*R0))*e^(-(t1/(R0*C)))

t0 = R0*C

1/R = 1/R0 +(C/t1)*W(-(t1/t0)*e^(-(t1/t0))

1/R = 1/R0 +(1/R0)*(R0*C/t1)*W(-(t1/t0)*e^(-(t1/t0))

1/R = 1/R0 +(1/R0)*(t0/t1)*W(-(t1/t0)*e^(-(t1/t0))

R = 1/(1/R0 +(1/R0)*(t0/t1)*W(-(t1/t0)*e^(-(t1/t0)))

R = R0/( 1 + (t0/t1)*W((-t1/t0)*exp(-t1/t0)) )